Question

20．如图所示，小球P固定于圆盘上，小球Q位于地面上，开始时小球P从圆盘的最低点绕圆盘的圆心做匀速圆周运动，同时小球Q以初速度v₀=8m/s做竖直上抛运动，已知圆盘的圆心离地面的高h=2.4m，g=10m/s²，在运动过程中发现两小球在同一高度有速度相等的情况存在，问圆盘的半径是多大？

Answer 1

分析 首先分析两球的运动情况，据两小球在同一高度有速度相等的情况存在，说明P球的运动方向竖直时才有可能速度相等；据Q此求出速度的大小和所需的时间；然后利用P的匀速圆周运动求半径．

解答 解：据两小球在同一高度有速度相等的情况存在，所以相遇的高度是与圆心等高处，且有两种可能，速度竖直向上和速度竖直向下两种可能．
据运动学公式${v}^{2}-{v}_{0}^{2}$=2as可知与圆心等高处的速度，v=$\sqrt{64-48}m/s$=4m/s   ①
当速度方向竖直向上时相遇，据运动学速度公式v=v₀+at得，t=$\frac{4-8}{-10}s$=0.4s
P的角速度为：ω=$\frac{2nπ+\frac{π}{2}}{0.4}$rad/s=5nπ+$\frac{5}{4}π$  （n=0、1、2、3，…）     ②
又因为：v=ωr    ③
 联立①②③解得：r=$\frac{16}{20nπ+5π}$ m （n=0、1、2、3，…）    
当速度方向竖直向下时相遇，据运动学速度公式v=v₀+at得，t=$\frac{-4-8}{10}s$=1.2s
P的角速度为：ω=$\frac{2nπ+\frac{3π}{2}}{1.2}$rad/s=$\frac{5nπ}{3}+\frac{15π}{12}$  （n=0、1、2、3，…）     ④
又因为：v=ωr    ⑤
 联立①④⑤解得：r=$\frac{48}{20nπ+15π}$ m  （n=0、1、2、3，…）    
答：圆盘的半径可能为$\frac{16}{20nπ+5π}$ m （n=0、1、2、3，…）   或$\frac{48}{20nπ+15π}$ m  （n=0、1、2、3，…）．

点评 此题的过程看似简单，实际较复杂，一定注意两小球在同一高度有速度相等的情况存在，据此求出速度和时间；一定注意圆周运动的周期性造成的多解．