Question

5．如图所示，一质量为1kg的小物块从半径为0.8m的光滑四分之一圆弧轨道的顶端A点由静止开始下滑，A点和圆弧对应的圆心O点等高，小物块从B点离开后水平抛出，恰好能从C点沿CD方向滑上以10m/s的速度沿逆时针方向匀速转动的传送带．已知传送带长27.75m，倾角为θ等于37°，传送带与物块之间的动摩擦因数为0.5（sin37°=0.6，cos37°=0.8，g=10m/s²）．求：
（1）小物块在圆弧轨道最低点B对轨道的压力大小；
（2）B点到水平线MN的高度h；
（3）小物块从传送带顶端C运动到底端D的过程中因摩擦而产生的热量．

Answer 1

分析 （1）滑块从A运动到B的过程中，只有重力做功，根据机械能守恒定律求出滑块到达底端B时的速度．滑块经过B时，由重力和轨道的支持力的合力提供向心力，根据牛顿运动定律求解滑块对轨道的压力；
（2）物块从B到C做平抛运动，到C点时速度沿CD方向，将速度分解可得到C点的速度，再根据机械能守恒求解h．
（3）根据牛顿第二定律和运动学公式结合求解物块与传送带间的相对位移，再乘以摩擦力可得到热量．

解答 解：（1）滑块从A运动到B的过程中，由机械能守恒定律得：
  mgR=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
解得：v_B=$\sqrt{2gR}$=$\sqrt{2×10×0.8}$=4m/s
在B点：N-mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$
代入解得：N=3mg=30N
由牛顿第三定律可知，滑块对轨道的压力为N′=N=30N，方向竖直向下．
（2）物块从B到C做平抛运动，到C点时速度沿CD方向，则C点的速度 v_C=$\frac{{v}_{B}}{cosθ}$=$\frac{4}{cos37°}$=5m/s
根据机械能守恒得：mgh=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
解得 h=0.45m
（3）小物块滑上传送带后先向下做匀加速运动，设加速至速度等于传送带速度用时t₁，通过的位移为x₁，加速度为a₁．此过程传送带的位移为 x₂．
则 a₁=$\frac{mgsinθ+μmgcosθ}{m}$=10m/s²．
   t₁=$\frac{{v}_{带}-{v}_{C}}{{a}_{1}}$=$\frac{10-5}{10}$=0.5s
   x₁=$\frac{{v}_{C}+{v}_{带}}{2}{t}_{1}$=3.75m
   x₂=v_带t₁=5m
因为μ=0.5＜tan37°，所以物块与传送带共速后继续向下做匀加速运动，加速度大小设为a₂．滑到底端时间为t₂．
则a₂=$\frac{mgsin37°-μmgcos37°}{m}$=2m/s²．
   L-x₁=v_带t₂+$\frac{1}{2}{a}_{2}{t}_{2}^{2}$
代入解得 t₂=2s
此过程中，传送带的位移为x₃=v_带t₂=20m
物块从传送带顶端C运动到底端D的过程中因摩擦而产生的热量 Q=μmgcosθ•△x=μmgcosθ•[（x₂-x₁）+（L-x₁-x₂）]=21J
答：（1）小物块在圆弧轨道最低点B对轨道的压力大小是30N；
（2）B点到水平线MN的高度h是0.45m；
（3）小物块从传送带顶端C运动到底端D的过程中因摩擦而产生的热量是21J．

点评 本题是机械能守恒定律、向心力、牛顿第二定律、运动学公式的综合应用，容易出错的地方是：Q=μmgcosθ•△x，△x是相对位移，据此来求解摩擦生热．