Question

2．如图所示，装置置于水平匀强电场中，装置是由水平部分和圆弧组成的绝缘轨道．其水平部分粗糙，动摩擦因数为μ（μ＜1）；圆弧部分是半径为R的光滑轨道，C为圆弧最高点，B为圆弧最低点．若匀强电场场强E=$\frac{mg}{q}$，使质量为m、电量为+q的滑块在A点由静止释放，滑块恰好能做完整的圆周运动．问：
（1）滑块到达C点时速度多大？
（2）AB间的最小距离为多少？

Answer 1

分析 （1）由等效法找到等效最高点，再由动能定理及向心力公式可求得c点的速度．
（2）应用动能定理研究小球由A→C的过程，求出小球在AB间的最小距离大小．

解答 解：（1）滑块在圆弧轨道上受重力和电场力作用，如图1所示，则合力${F}_{合}^{\;}=\sqrt{（m{g）}_{\;}^{2}+（qE）_{\;}^{2}}=\sqrt{2}mg①$
$tanθ=\frac{mg}{qE}=1②$
则θ=45°
滑块做完整圆周运动必须过复合场的最高点D（如图2所示），恰能过D点，则需满足${F}_{合}^{\;}=m\frac{{v}_{D}^{2}}{R}③$
设滑块在C、D两点的速度${v}_{C}^{\;}$、${v}_{D}^{\;}$，从C点到D点，由动能定理有
$mgR（1-sinθ）-qERcosθ=\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$④
由上式联立解得${v}_{C}^{\;}=\sqrt{（3\sqrt{2}-2）gR}$
（2）滑块从B到C，由动能定理有
$-2mgR=\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}=\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$⑤
滑块从A到B，由动能定理有
$（qE-μmg）{x}_{AB}^{\;}=\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$⑥
联立上式解得${x}_{AB}^{\;}=\frac{3\sqrt{2}+2}{2（1-μ）}R$
答：（1）滑块到达C点时速度为$\sqrt{（3\sqrt{2}-2）gR}$
（2）AB间的最小距离为$\frac{3\sqrt{2}+2}{2（1-μ）}R$

点评 在本题中物体不仅受重力的作用，还有电场力，在解题的过程中，一定要分析清楚物体的受力和运动过程，特别是小球恰好能做完整圆周运动的条件，根据动能定理和牛顿第二定律灵活列式求解