Question

在竖直平面内有一个光滑的半圆轨道，轨道两端连线即直径在竖直方向，轨道半径为0.9m，一个质量为0.5kg的小球以一定的初速度滚上轨道（取g=10m/s²）．求：
（1）小球在最高点不脱离轨道的最小速率是多少？
（2）小球在最高点速率v=4m/s时，小球对轨道的压力是多少？

Answer 1

分析：（1）小球在最高点不脱离轨道的条件是重力不大于小球做圆周运动所需要的向心力，当只由重力提供向心力时，速度最小，根据牛顿第二定律列式求出最小速率．
（2）小球在最高点速率v=4m/s时，由重力和轨道的压力的合力提供向心力，列式求出轨道对小球的压力，再根据牛顿第三定律得到小球对轨道的压力．

解答：解（1）在最高点小球不脱离轨道的条件是重力不大于小球做圆周运动所需要的向心力，即：
mg≤m

v2

R

    
则所求的最小速率：
v_min=

gR

=

0.9×10

m/s=3m/s
（2）因为v=4m/s＞v_min，所以轨道对小球有一定的压力F．
则根据牛顿第二定律得：F+mg=m

v2

R

      
所以 F=m（

v2

R

-g）=0.5×（

42

0.9

-10）N≈3.9N
由牛顿第三定律知，小球对轨道的压力为：F′=F=3.5N
答：（1）小球在最高点不脱离轨道的最小速率是3m/s．
（2）小球在最高点速率v=4m/s时，小球对轨道的压力是3.5N．

点评：本题与轻绳的模型类似，关键分析小球的受力，确定什么力提供向心力，运用牛顿运动定律研究圆周运动动力学问题．