Question

1．如图所示，质量为M的小车静止在光滑水平轨道上，下面用长为L的细线悬挂在质量为m的沙箱，一颗质量为m₀的子弹以v₀的水平速度射入沙箱，并留在其中，在以后运动过程中，求：
（1）沙箱上升的最大高度；
（2）小车的最大速度．

Answer 1

分析 （1）子弹打入沙箱过程中动量守恒，根据动量守恒定律列式，摆动过程中，子弹、沙箱、小车系统水平方向动量守恒，机械能守恒．沙箱到达最大高度时系统有相同的速度，根据动量守恒定律和机械能守恒定律列式，联立方程即可求解；
（2）子弹和沙箱再摆回最低点时，小车速度最大，根据动量守恒定律和机械能守恒定律列式，联立方程即可求解；

解答 解：（1）子弹打入沙箱过程中动量守恒，根据动量守恒定律得：
m₀v₀=（m₀+m）v₁①
摆动过程中，子弹、沙箱、小车系统水平方向动量守恒，机械能守恒．
沙箱到达最大高度时系统有相同的速度，设为v₂，则有：
（m₀+m）v₁=（m₀+m+M）v₂②
$\frac{1}{2}（{m}_{0}+m）{{v}_{1}}^{2}=\frac{1}{2}（{m}_{0}+m+M）{{v}_{2}}^{2}+（{m}_{0}+m）gh$③
联立①②③可得$h=\frac{{{m}_{0}}^{2}M{{v}_{0}}^{2}}{2（{m}_{0}+m）^{2}（{m}_{0}+m+M）g}$
（2）子弹和沙箱再摆回最低点时，小车速度最大，设此时小车速度为v₃，沙箱速度为v₄
由动量守恒得：
（m₀+m）v₁=Mv₃+（m₀+m）v₄ ④
由系统机械能守恒得
$\frac{1}{2}（{m}_{0}+m）{{v}_{1}}^{2}=\frac{1}{2}M{{v}_{3}}^{2}+\frac{1}{2}（{m}_{0}+m）{{v}_{4}}^{2}$ ⑤
联立④⑤求解得小车最大速度
${v}_{3}=\frac{2{m}_{0}}{{m}_{0}+m+M}{v}_{0}$
答：（1）沙箱上升的最大高度为$\frac{{{m}_{0}}^{2}M{{v}_{0}}^{2}}{2{（{m}_{0}+m）}^{2}（{m}_{0}+m+M）g}$；
（2）小车的最大速度为$\frac{2{m}_{0}}{{m}_{0}+m+M}{v}_{0}$．

点评 本题考查了动量守恒定律的应用，分析清楚物体运动过程，应用动量守恒定律与能量守恒定律即可正确解题，解题时要注意研究对象与运动过程的选择，难度适中．