Question

如图所示，一个四分之三圆弧形光滑细圆管轨道ABC，放置在竖直平面内，轨道半径为R，在A点与水平桌面AD相接，桌面与圆心O等高。MN是放在水平桌面上长为3R、厚度不计的垫子，左端M正好位于A点。将一个质量为m、直径略小于圆管直径的小球从A处管口正上方某点由静止释放，不考虑空气阻力。

   （1）若小球从C点射出后恰好能打到垫子的M端，则小球经过c点时对管的作用力大小和方向如何?

   （2）欲使小球能通过c点落到垫子上，小球离A点的最大高度应是多少?

Answer 1

（1）小球对管子作用力大小为，方向竖直向下

（2）

解析:

（1）小球离开C点做平抛运动，设经过C点时的速度为v₁，从C点到M点的运动时间为t，根据运动学公式可得：

…………………………………………………………………①（2分）

……………………………………………………………②（2分）

设小球经过c点时受到管子对它的作用力为N，向下的方向为正方向。由牛顿第二定律可得：

   ……………………………………………………………③（2分）

    联立①②③式可得：………………………………………………（1分）

    由牛顿第三定律可知。小球对管子作用力大小为，方向竖直向下………f（1分）

   （2）小球下降的高度最大时，小球平抛运动的水平位移为4R，打到N点。

设能够落到N点的过C点时水平速度为v₂，根据运动学公式可得：  

    4R=v₂t………………………一……………………………………………④（1分）

设小球下降的最大高度为H，根据动能定理可知：

  …………………………………………………………⑤（3分）

联立②④⑤式可得：

…………………………………………………⑤（2分）