Question

11．PQ是竖直平面内的$\frac{1}{4}$圆弧轨道，其下端Q与水平直轨道相切，如图所示．一小球自P点起由静止开始沿轨道下滑．已知圆轨道半径为3m，小球的质量为1kg，不计各处摩擦（g取10m/s²）．求：
（1）小球运动到Q点时的动能．
（2）小球下滑到距水平轨道的高度为1m时的速度大小．
（3）小球经过圆弧轨道的Q点和水平轨道的C点时，所受轨道支持力各是多大？

Answer 1

分析 （1）根据机械能守恒求解；
（2）根据机械能守恒求解小球下滑到距水平轨道的高度为1m时的速度大小．
（3）根据机械能守恒求解求出小球到Q速度，由向心力公式可得Q点受到的支持力，从B→C做匀速直线运动，在C点由平衡条件可知支持力等于重力．

解答 解：（1）根据机械能守恒  E_k=mgR=30J
（2）根据机械能守恒△E_k=△E_p
$\frac{1}{2}$mv²=mgh                             
小球速度大小v=$\sqrt{gh}=2\sqrt{10}$m/s    
（3）根据牛顿运动定律及机械能守恒，在Q点
N_Q-mg=m$\frac{{{v}_{Q}}^{2}}{R}$
mgR=$\frac{1}{2}$mv_Q²
解得  N_Q=3mg=30N
从Q→C做匀速直线运动，在C点由平衡条件：
在C点：N_C=mg=10N        
答：（1）小球运动到Q点时的动能为30J．
（2）小球下滑到距水平轨道的高度为1m时的速度大小为$2\sqrt{10}m/s$．
（3）小球经过圆弧轨道的Q点和水平轨道的C点时，所受轨道支持力分别为30N和10N．

点评 本题主要在于机械能守恒定律的应用，另外圆轨道问题也是一种非常常考的内容之一，应熟练掌握这块知识．