Question

如图所示，在竖直方向上A、B物体通过劲度系数为k的轻质弹簧相连，A放在水平地面上，B、C两物体通过细绳绕过光滑轻质定滑轮相连，C放在固定的光滑斜面上，斜面倾角为30°，用手按住C，使细绳刚刚拉直但无拉力作用，ab段的细绳竖直、cd段的细绳与斜面平行．已知A、B的质量均为m，重力加速度为g，开始时整个系统处于静止状态，释放C后它沿斜面下滑，斜面足够长，且物体A恰不离开地面．求：
（1）物体A恰不离开地面时，物体C下降的高度；
（2）物体C的质量是多少？
（3）其他条件不变，若把C换为质量为4m的物体D，释放D后它沿斜面下滑，当A刚要离开地面时，物体B的速度为多大？

Answer 1

分析：（1）物体A恰不离开地面时，弹簧的弹力恰好等于A的重力．根据胡克定律分别求出开始时弹簧的压缩量和物体A恰不离开地面时的伸长量，根据几何关系求出物体C下降的高度；
（2）物体C沿斜面下滑，当物体A恰不离开地面时，物体C的速度为零，以物体C、B和弹簧整体为研究对象，根据机械能守恒定律列式，求出C的质量；
（3）以物体D、B和弹簧整体为研究对象，根据机械能守恒定律求解B的速度．

解答：解：（1）初始整个系统处于静止状态，以物体B为研究对象可知，弹簧处于压缩状态，则：
  mg=kx₁   ①
当物体A恰不离开地面时，以物体A为研究对象可知，弹簧处于伸长状态，则：
  mg=kx₂    ②
因而物体C下降的高度为：h=（x₁+x₂）sin30° ③
联立解得：h=

mg

k

（2）物体C沿斜面下滑，当物体A恰不离开地面时，物体C的速度为零，以物体C、B和弹簧整体为研究对象，设物体C的质量为M，根据机械能守恒定律可知：
  Mg（x₁+x₂）sin30°=mg（x₁+x₂）+△E_p    ④
由①②得：x₁=x₂，故△E_p=0
解得：M=2m
（3）把物体C换为物体D后，当物体A刚要离开地面时，此时物体D和物体B的速度大小相等设为v，以物体D、B和弹簧整体为研究对象，根据机械能守恒定律可知：
   4mg（x₁+x₂）sin30°=mg（x₁+x₂）+

1

2

×5mv2+△E_p    ④
联立解得物体B的速度大小为：v=

4mg2 5k

答：
（1）物体A恰不离开地面时，物体C下降的高度为

mg

k

；
（2）物体C的质量是2m．
（3）其他条件不变，若把C换为质量为4m的物体D，释放D后它沿斜面下滑，当A刚要离开地面时，物体B的速度为

4mg2 5k

．

点评：本题是力与能的综合题，关键对初始位置和末位置正确地受力分析，以及合理选择研究的过程和研究的对象，运用机械能守恒定律求解．