Question

18．如图所示水平空间内有垂直纸面向时的有界匀强磁场区域Ⅰ、Ⅱ，磁感应强度方向如图所示，大小未知．区域Ⅰ内有竖直向上的匀强电场，区域Ⅱ内有水平向右的匀强电场，两区域内的电场强度大小相等．现有一质量m=0.01kg、带电荷量q=+0.01C的小球从边界MN左侧与MN相距L=2m的A点以v₀=5m/s的初速度沿粗糙、绝缘的水平面向右运动，进入复合场区域后，小球立即在竖直平面内做匀速圆周运动，经过一段时间后（未进入区域Ⅱ）离开磁场第一次落地位置恰好与A点重合，已知小球与水平桌面间的动摩擦因数μ=0.225，取g=10m/s²．
（1）求匀强电场的电场强度E和区域Ⅰ中磁感应强度B₁各自的大小；
（2）求小球从A点出发到再次落回A点所经历的时间t．
（3）若小球在A点以v₀′=9m/s的初速度沿水平面向右运动，当小球进入区域Ⅱ后恰好能沿直线运动，求有界磁场区域Ⅰ的宽度d及区域Ⅱ的磁感应强度B₂的大小．

Answer 1

分析 （1）小球进入复合场区域后，小球立即在竖直平面内做匀速圆周运动，说明重力与电场力的大小相等，方向相反；A到N的过程中摩擦力做功，由动能定理即可求出小球到达N点的速度．小球离开磁场后做平抛运动，将运动分解，即可求出下落的高度，然后结合几何关系由于洛伦兹力提供向心力的公式即可求出磁感应强度；
（2）小球在AN之间做减速运动，由牛顿第二定律求出加速度，然后由运动学的公式求出时间；粒子在磁场中做匀速圆周运动，由周期公式即可求出粒子在磁场中运动的时间，最后求和；
（3）A到N的过程中摩擦力做功，由动能定理即可求出小球到达N点的速度．小球进入区域Ⅱ后恰好能沿直线运动，说明小球受到的合外力为0，受力分析即可求出小球的速度，结合动能定理即可求出有界磁场区域Ⅰ的宽度d及区域Ⅱ的磁感应强度B₂的大小．

解答 解：（1）小球进入复合场区域后，小球立即在竖直平面内做匀速圆周运动，说明重力与电场力的大小相等，方向相反；即：
qE=mg
所以：E=$\frac{mg}{q}=\frac{0.01×10}{0.01}=10$N/C
A到N的过程中摩擦力做功，由动能定理得：$-μmgL=\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
代入数据得：v₁=4m/s
由于小球做匀速圆周运动，所以小球在复合场中运动的轨迹是半个圆，小球离开磁场后做平抛运动，将运动分解，水平方向：L=v₁t₁
得：${t}_{1}=\frac{L}{{v}_{1}}=\frac{2}{4}s=0.5$s
小球下落的高度：$h=\frac{1}{2}g{t}_{1}^{2}=\frac{1}{2}×10×0．{5}^{2}m=1.25$m
小球在复合场中运动的轨迹是半个圆，结合几何关系可得：h=2r
所以：r=$\frac{1}{2}$h=0.625m
小球做匀速圆周运动，洛伦兹力恰好提供向心力，得：$q{v}_{1}B=\frac{m{v}_{1}^{2}}{r}$
所以：B=$\frac{m{v}_{1}}{qr}=\frac{0.01×4}{0.01×0.625}=6.4$T
（2）小球在AN之间做减速运动，由牛顿第二定律得：$a=-\frac{μmg}{m}=-μg=-0.225×10=-2.25m/{s}^{2}$，
运动的时间：${t}_{2}=\frac{{v}_{1}-{v}_{0}}{a}=\frac{4-5}{-2.25}s=2$s；
粒子在磁场中做匀速圆周运动，由周期公式得：
$T=\frac{2πm}{qB}=\frac{2π×0.01}{0.01×6.4}s≈1$s
小球在复合场中运动的轨迹是半个圆，所以小球在磁场中运动的时间：${t}_{3}=\frac{1}{2}T=0.5$s
小球从A点出发到再次落回A点所经历的时间：t=t₁+t₂+t₃=0.5s+2s+0.5s=3s
（3）A到N的过程中摩擦力做功，由动能定理得：$-μmgL=\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}-\frac{1}{2}m{v′}_{0}^{2}$
代入数据得：${v}_{2}=6\sqrt{2}$m/s
小球进入区域Ⅱ后恰好能沿直线运动，说明小球受到的合外力为0，此时小球受到重力、水平方向的电场力和洛伦兹力的作用，由于电场力的大小与重力的大小相等，所以洛伦兹力的方向一定与重力、电场力的合力的方向相反，大小相等，如图：

由左手定则可知，小球运动的方向与x轴成45°角，洛伦兹力的大小：f=$\sqrt{2}$mg=$\sqrt{2}$×0.01×10=0.1$\sqrt{2}$N
又：f=qv₂B₂
所以：${B}_{2}=\frac{f}{q{v}_{2}}=\frac{0.1\sqrt{2}}{0.01×6\sqrt{2}}=\frac{5}{3}$T
小球在区域Ⅰ中仍然做匀速圆周运动，运动的半径：$r′=\frac{m{v}_{2}}{q{B}_{1}}=\frac{0.01×6\sqrt{2}}{0.01×6.4}=\frac{3\sqrt{2}}{3.2}$
小球在磁场中的偏转角是45°，由几何关系可得：$\frac{d}{r′}=sin45°$
所以：d=$\frac{\sqrt{2}}{2}r′=\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{3\sqrt{2}}{3.2}=\frac{3}{3.2}$m
答：（1）匀强电场的电场强度是10N/C，区域Ⅰ中磁感应强度B₁的大小是6.4T；
（2）小球从A点出发到再次落回A点所经历的时间是3s．
（3）有界磁场区域Ⅰ的宽度是$\frac{3}{3.2}$m，区域Ⅱ的磁感应强度B₂的大小是$\frac{5}{3}$T．

点评 本题考查带电粒子在复合场中的运动，要注意当粒子在复合场中做匀速 圆周运动时，粒子受到的电场力与重力平衡．