Question

10．宇航员站在某质量分布均匀的星球表面一斜坡上P点，沿水平方向以初速度v₀抛出一个小球，测得小球经时间t落到斜坡另一点Q上，斜坡的倾角α，已知该星球的半径为R，引力常量为G，已知球的体积公式是V=$\frac{4}{3}$πR³．求：
（1）该星球表面的重力加速度g； 
（2）该星球的第一宇宙速度；
（3）该星球的密度．

Answer 1

分析 （1）根据平抛运动的规律，抓住水平位移和竖直位移的关系求出星球表面的重力加速度．
（2）该星球的第一宇宙速度等于它的近地卫星的运行速度，根据万有引力提供向心力，结合黄金代换式求出该星球的第一宇宙速度．
（3）根据万有引力等于重力求出星球的质量，结合星球的体积求出星球的密度．

解答 解：（1）小球在斜坡上做平抛运动时：
水平方向上：x=v₀t…①
竖直方向上：y=$\frac{1}{2}$gt²…②
由几何知识tanα=$\frac{y}{x}$…③
由①②③式得：g=$\frac{{2{v_0}tanα}}{t}$．
（2）该星球的第一宇宙速度等于它的近地卫星的运行速度，故有：
$G\frac{Mm}{R^2}=m\frac{v^2}{R}$
又GM=gR²　  
解得v=$\sqrt{\frac{{2{v_0}Rtanα}}{t}}$．
（3）对于星球表面的物体m₀，有$G\frac{{M{m_0}}}{R^2}={m_0}g$
又V=$\frac{4}{3}$πR³　  
解得：ρ=$\frac{M}{V}=\frac{{3{v_0}tanα}}{2πRtG}$．
答：（1）该星球表面的重力加速度g为$\frac{{2{v_0}tanα}}{t}$；
（2）该星球的第一宇宙速度为$\sqrt{\frac{{2{v_0}Rtanα}}{t}}$；
（3）该星球的密度为$\frac{{3{v_0}tanα}}{2πRtG}$．

点评 本题考查了平抛运动与万有引力定律的综合运用，掌握万有引力定律的两个重要理论：1、万有引力等于重力，2、万有引力提供向心力，并能灵活运用．