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    20．在真空室内，竖直放置的M、N板涂有荧光物质，如图所示．两板间竖直条形区域Ⅰ存在垂直纸面向里的匀强磁场，区域Ⅱ存在水平向右的匀强电场，磁场和电场均有界，宽度均为L，且足够长，磁场的强弱可以调节，电场强度恒为E．现有一束质子从A处连续不断地射入磁场，入射方向与M板成θ=60°夹角且与纸面平行，已知该质子束由两种速度的质子组成，一种速度大小为v的低速质子，另一种速度大小为3v的高速质子．当Ⅰ区域的磁场较强时，M板出现两个亮斑，缓慢改变磁场强弱，直到两个亮斑相继消失，此时观察到N板有两个亮斑．已知质子质量为m，电量为e，不计质子重力和相互间作用力，求：
    （1）若保持M、N板各有一个亮斑，磁场的磁感应强度应控制在什么范围内；
    （2）当M板亮斑刚好消失，N板出现两个亮斑时，两个亮斑之间的距离．

    分析 （1）根据题意可知两粒子可能的运动情况，根据洛仑兹力充当向心力及几何关系可明确磁感应强度的范围；
    （2）由题意可知两粒子的运动过程，根据几何关系可明确两个粒子之间的距离．

    解答 解：（1）MN各有一个亮斑，高速质子打在N板上，低速质子打在M板上，B最大时，高速质子速度恰好与两场交界相切且与电场方向垂直，在磁场中运动半径为R1，则有：
    3evBmax=m$\frac{（3v）^{2}}{R}$
    由几何关系可得：
    R1+R1cos60°=L
    解得：Bmax=$\frac{9mv}{2eL}$
    B最小时，低速质子速度恰好与两场交界相切且与电场方向垂直，在磁场中半径为R2；
    则有：
    evBmin=m$\frac{{v}^{2}}{{R}_{2}}$
    R2+R2cos60°=L
    解得：Bmin=$\frac{3mv}{2eL}$
    故磁感应强度的取值范围为：$\frac{3mv}{2eL}$≤B≤$\frac{9mv}{2eL}$；
    （2）当恰好出现两个亮斑时，低速质子速度恰好与两场交界相切且与电场方向垂直，在磁场中运动半径为R2，高速质子半径R1′=3R2，
    轨迹如图所示，由几何关系可知，此时高速质子沿电场线进入电场，到达N板时与A点得竖直高度差为：
    h1=R1′-R1′sin60°
    低速质子在磁场中偏转距离为：h2=R2sin60°
    设在电场中运动时间为t′，则有L=$\frac{1}{2}$at′2
    eE=ma
    电场中的偏转距离为：h3=vt′
    联立解得：h=h1+h2+h3=（2-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）L+v$\sqrt{\frac{2mL}{eE}}$
    答：（1）磁场的磁感应强度应控制在$\frac{3mv}{2eL}$≤B≤$\frac{9mv}{2eL}$范围内；
    （2）当M板亮斑刚好消失，N板出现两个亮斑时，两个亮斑之间的距离（2-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）L+v$\sqrt{\frac{2mL}{eE}}$．

    点评 带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，须“画圆弧、定圆心、求半径”．同时利用几何关系来确定半径大小．
    带电粒子在匀强电场中做类平抛运动，由平抛运动规律可将运动分解，分解成的相互垂直两运动具有等时性．

    练习册系列答案
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    A．m=2M
    B．m=M
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