Question

如图所示，光滑平行金属轨道的倾角为θ，宽度为L，电阻为

1

2

R．在此空间存在着垂直于轨道平面的匀强磁场，磁感应强度为B．在轨道上端连接阻值为R的电阻，质量为m的金属棒搁在轨道上，由静止释放，在下滑过程中，始终与轨道垂直，且接触良好．轨道的电阻不计．当金属棒下滑高度达h时，其速度恰好达最大．试求：
（1）金属棒下滑过程中的最大加速度．
（2）金属棒下滑过程中的最大速度．
（3）金属棒从开始下滑到速度达最大的过程中，电阻R所产生的热量．

Answer 1

分析：（1）这是斜面的受力分析，导体棒受到重力，支持力，安培力，求合力可以求出加速度．
（2）棒到达最大速度时，合外力为零，由平衡条件和安培力与速度的关系式求解最大速度．
（3）从开始运动到金属下滑速度达最大的过程中，由能量守恒可得回路中产生的总热量，再根据串联关系求出R产生的热量．

解答：解：（1）以金属棒为研究对象，当安培力为零时，金属棒的加速度最大，由牛顿第二定律得：
mgsinθ=ma_m    
解得：a_m=gsinθ
（2）金属棒切割磁场线产生的感应电动势，为：E=BLv
感应电流为：I=

E

R+r

=

BLv

R+ 1 2 R

=

2BLv

3R

金属棒在轨道上做加速度减小的加速运动，当所受合外力为零时，速度达最大，设为v_m．则有：
mgsinθ=BIL  
mgsinθ=

2B2L2vm

3R

最大速度：v_m=

3mgRsinθ

2B2L2

（3）从开始运动到金属下滑速度达最大的过程中，由能量守恒可得：
 mgh=

1

2

mv_m²+Q
电阻R所产生的热量：Q₁=

2

3

Q
则得：Q₁=

2

3

mgh-

3m3g2R2sin2θ

4B4L4

答：（1）金属棒下滑过程中的最大加速度为gsinθ．
（2）金属棒下滑过程中的最大速度为

3mgRsinθ

2B2L2

．
（3）金属棒从开始下滑到速度达最大的过程中，电阻R所产生的热量为

2

3

mgh-

3m3g2R2sin2θ

4B4L4

点评：该题全面考查电磁感应定律的综合应用，涉及到法拉第电磁感应定律，闭合电路的欧姆定律，受力平衡和功能关系等，要求考生能够对导体棒的运动过程有全面的把握，有综合分析的能力．对能力的要求比较高．