Question

10．如图所示，一对光滑的平行金属导轨固定在同一水平面内，导轨的间距l=0.4m，在导轨的左端接有阻值R=0.2Ω的电阻，一质量m=0.1kg、电阻r=0.1Ω的金属棒PQ垂直于导轨放置其上，整个装置竖直向上、磁感应强度B=0.4T的匀强磁场中．现对金属棒施加一在水平向右的作用力，使其由静止开始以a=2m/s²的加速度做匀加速直线运动，在金属棒的位移x=9m时撤去外力，金属棒继续运动一段距离后停下来．已知导轨足够长且电阻不计，金属棒在运动过程中始终与导轨保持良好接触．撤去外力后，求：
（1）电阻R中产生的焦耳热Q_R；
（2）金属棒沿导线滑行的距离L（保留3位有效数字）．

Answer 1

分析 （1）根据运动学公式求出撤去外力时金属棒的速度，撤去外力后棒在安培力作用下做减速运动，安培力做负功，使棒的动能转化为电能，再通过电流做功将电能转化为内能，产生的焦耳热等于棒的动能减少，求出撤去外力后R产生的焦耳热，从而得到总的焦耳热．
（3）对于匀加速运动过程，由运动学公式求出金属棒运动的距离．撤去外力后，根据牛顿第二定律和加速度的定义式，结合微元法求解滑行距离．再得到总距离L．

解答 解：（1）设撤去外力棒的速度为v．则有：
v=$\sqrt{2ax}$=$\sqrt{2×2×9}$=6m/s
撤去外力后棒在安培力作用下做减速运动，安培力做负功先将棒的动能转化为内能，所以回路中产生的焦耳热等于棒的动能减少．
由能量守恒定律得回路产生的总焦耳热为：Q_总=△E_K=$\frac{1}{2}$mv²=$\frac{1}{2}×0.1×{6}^{2}$=1.8J
则电阻R中产生的焦耳热为：Q_R=$\frac{R}{R+r}$_总=$\frac{0.2}{0.2+0.1}$×1.8J=1.2J
（2）撤去外力后，设棒的速度为v时加速度大小为a．在极短时间△t内速度的变化量为△v，通过的位移为△x．
则有：a=$\frac{△v}{△t}$
取向右为正方向，根据牛顿第二定律得：-BIl=ma
又 I=$\frac{Blv}{R+r}$
联立得：-$\frac{{B}^{2}{l}^{2}v}{R+r}$=m$\frac{△v}{△t}$
则得：-$\frac{{B}^{2}{l}^{2}v}{R+r}$△t=m△v
两边求和得：$\sum_{\;}^{\;}$（-$\frac{{B}^{2}{l}^{2}v}{R+r}$△t）=$\sum_{\;}^{\;}$m△v
又△x=v△t
可得-$\frac{{B}^{2}{l}^{2}}{R+r}L$=0-mv
得 L=$\frac{mv（R+r）}{{B}^{2}{l}^{2}}$=$\frac{0.1×6×0.3}{0．{4}^{2}×0．{4}^{2}}$≈7.03m
答：
（1）电阻R中产生的焦耳热Q_R是1.2J
（2）金属棒沿导线滑行的距离L是7.03m．

点评 解决该题关键要会微元法求金属棒通过的距离，其切入口是牛顿第二定律和瞬时加速度的表达式，还要分析清楚运动过程中不同形式的能量中如何转化，运用能量守恒求热量．