Question

如图1所示，一端封闭的两条平行光滑长导轨相距L，距左端L处的右侧一段被弯成半径为

L

2

的四分之一圆弧，圆弧导轨的左、右两段处于高度相差

L

2

的水平面上．以弧形导轨的末端点O为坐标原点，水平向右为x轴正方向，建立Ox坐标轴．圆弧导轨所在区域无磁场；左段区域存在空间上均匀分布，但随时间t均匀变化的磁场B（t），如图2所示；右段区域存在磁感应强度大小不随时间变化，只沿x方向均匀变化的磁场B（x），如图3所示；磁场B（t）和B（x）的方向均竖直向上．在圆弧导轨最上端，放置一质量为m的金属棒ab，与导轨左段形成闭合回路，金属棒由静止开始下滑时左段磁场B（t）开始变化，金属棒与导轨始终接触良好，经过时间t₀金属棒恰好滑到圆弧导轨底端．已知金属棒在回路中的电阻为R，导轨电阻不计，重力加速度为g．
（1）求金属棒在圆弧轨道上滑动过程中，回路中产生的感应电动势E；
（2）如果根据已知条件，金属棒能离开右段磁场B（x）区域，离开时的速度为v，求金属棒从开始滑动到离开右段磁场过程中产生的焦耳热Q；
（3）如果根据已知条件，金属棒滑行到x=x₁位置时停下来，
a．求金属棒在水平轨道上滑动过程中通过导体棒的电荷量q；
b．通过计算，确定金属棒在全部运动过程中感应电流最大时的位置．

Answer 1

（1）由图2可知，

△B

△t

=

B0

t0

根据法拉第电磁感应定律，感应电动势E=

△Φ

△t

=L2

△B

△t

=L2

B0

t0

①
（2）金属棒在弧形轨道上滑行过程中，产生的焦耳热Q1=

U2

R

t=

L4 B 20

Rt0

金属棒在弧形轨道上滑行过程中，根据机械能守恒定律mg

L

2

=

1

2

m

v

20

②
金属棒在水平轨道上滑行的过程中，产生的焦耳热为Q₂，
根据能量守恒定律Q2=

1

2

m

v

20

-

1

2

mv2=mg

L

2

-

1

2

mv2
所以，金属棒在全部运动过程中产生的焦耳热Q=Q1+Q2=

L4 B 20

Rt0

+mg

L

2

-

1

2

mv2
（3）a．根据图3，x=x₁（x₁＜x₀）处磁场的磁感应强度B1=

B0(x0-x1)

x0

．
设金属棒在水平轨道上滑行时间为△t．由于磁场B（x）沿x方向均匀变化，根据法拉第电磁感应定律△t时间内的平均感应电动势

.

E

=

△Φ

△t

=

Lx1 B0+B1 2

△t

=

B0Lx1(2x0-x1)

2x0△t

所以，通过金属棒电荷量q=

.

I

△t=

. E

R

△t=

B0Lx1(2x0-x1)

2x0R

b．金属棒在弧形轨道上滑行过程中，根据①式，I1=

E

R

=

L2B0

Rt0

金属棒在水平轨道上滑行过程中，由于滑行速度和磁场的磁感应强度都在减小，所以，此过程中，金属棒刚进入磁场时，感应电流最大．
根据②式，刚进入水平轨道时，金属棒的速度v0=

gL

所以，水平轨道上滑行过程中的最大电流I2=

E′

R

=

B0L gL

R

若金属棒自由下落高度

L

2

，经历时间t=

L g

，显然t₀＞t
所以，I1=

L2B0

Rt0

＜

L2B0

Rt

=

L2B0

R L g

=I2
综上所述，金属棒刚进入水平轨道时，即金属棒在x=0处，感应电流最大．
答：
（1）金属棒在圆弧轨道上滑动过程中，回路中产生的感应电动势E是L2

B0

t0

；
（2）金属棒从开始滑动到离开右段磁场过程中产生的焦耳热Q为

L4 B 20

Rt0

+mg

L

2

-

1

2

mv2；
（3）a．金属棒在水平轨道上滑动过程中通过导体棒的电荷量q为

B0Lx1(2x0-x1)

2x0R

；
b．金属棒在全部运动过程中金属棒刚进入水平轨道时，即金属棒在x=0处，感应电流最大．