Question

图甲为竖直放置的离心轨道，其中圆轨道的半径r=0.10m，在轨道的最低点A和最高点B各安装了一个压力传感器（图中未画出），小球（可视为质点）从斜轨道的不同高度由静止释放，可测出小球在轨道内侧通过这两点时对轨道的压力F_A和F_B．g取10m/s²．
（1）若不计小球所受阻力，且小球恰能过B点，求小球通过A点时速度v_A的大小；
（2）若不计小球所受阻力，小球每次都能通过B点，F_B随F_A变化的图线如图乙中的a所示，求小球的质量m；
（3）若小球所受阻力不可忽略，F_B随F_A变化的图线如图乙中的b所示，求当F_B=6.0N时，小球从A运动到B的过程中损失的机械能△E．

Answer 1

分析：（1）小球滚到两圆轨道最高点时恰能过B点，此时对轨道无压力，仅受重力，运用向心力公式可求出在其位置的速度．对于从A到B过程，根据机械能守恒定律，可求A点速度
（2）由图象可知，小球恰能过B点时，对A点压力为6N，根据牛顿运动定律可求此时的重力
（3）根据图乙可知：当小球通过B点时，若小球对轨道压力的大小F_B=6.0N，则小球通过A点时对轨道压力的大小F_A=16N，由牛顿第二定律可得此两位置的速度，进而求得机械能的损失

解答：解：（1）若小球恰能通过B点，设此时小球质量为m，通过B时的速度为v_B．
根据牛顿第二定律有mg=

mv 2 B

r

根据机械能守恒定律有

1

2

mv

2 A

=

1

2

mv

2 B

+2mgr
所以v_A=

5

m/s≈2.2m/s
（2）根据第（1）问及图乙可知：当小球通过A点时的速度为2.2m/s时，小球对轨道压力的大小F_A1=6N．设小球通过A点时，轨道对小球支持力的大小为F_A2．
根据牛顿运动定律有：F_A1=F_A2，且有FA2-mg=

mv 2 A

r

所以：m=0.1kg
（3）根据图乙可知：当小球通过B点时，若小球对轨道压力的大小F_B=6.0N，则小球通过A点时对轨道压力的大小F_A=16N．设轨道对小球通过A、B时支持力的大小分别为

F

′ A

、

F

′ B

，速度分别为

v

′ A

、

v

′ B

．
根据牛顿运动定律有

F

′ A

=FA且

F

′ A

-mg=

mv ′2 A

r

F

′ B

=FB且

F

′ B

+mg=

mv ′2 B

r

在小球从A运动到C的过程中，根据功能原理又有

1

2

mv

′2 A

=

1

2

mv

′2 B

+2mgr+△E
所以△E=0.2J

点评：知道“小球恰能过B点”的含义，能够读懂图象隐含的信息，是解决本题的关键