Question

4．设计师陈建军提出高速不停站火车，而乘客可上下车的设想，他的方案如下：就是在传统火车轨道的正上方再铺设一组轨道，用于一个吊舱开始加速启动，当吊舱速度与火车相同时，吊舱锁住火车车顶，乘客通过一个楼群梯进入或离开底下的火车车厢．乘客上下车完毕时，吊舱解除和火车的锁定．如果不停站火车过站台时速度控制在v=72km/h匀速运行，已知吊舱加速和减速过程的加速度大小恒定且为a=2m/s²，吊舱锁住火车给乘客上下车的时间为t=5min．求：

（1）火车正上方提供吊舱运行的轨道至少要多长；
（2）如果传统火车过站也停5min让乘客上下车，已知传统火车加速和减速的加速度大小均为a₀=1m/s²，北京到广州中间经过30个站台，则新方案使火车从北京到广州缩短了几分钟？

Answer 1

分析 （1）根据速度位移公式求出吊舱匀加速和匀减速运动的位移，结合匀速运动的位移求出吊舱运行轨道的最小长度．
（2）根据速度时间公式求出传统火车匀加速和匀减速运动的时间，结合速度位移公式求出匀加速和匀减速运动的位移，结合这段位移求出以20m/s速度行驶所需的时间，结合在站台停止的时间，求出每个站台缩短的时间，从而得出新方案使火车从北京到广州缩短的时间．

解答 解：（1）72km/h=20m/s，
吊舱匀加速直线运动的位移为：${x}_{1}=\frac{{v}^{2}}{2a}=\frac{400}{4}m=100m$，
同理，匀减速直线运动的位移为：x₂=x₁=100m，
吊舱匀速运动的位移为：x₃=vt=20×300m=6000m，
则火车正上方提供吊舱运行的轨道至少长度为：x=x₁+x₂+x₃=100+100+6000m=6200m．
（2）传统火车匀加速运动的时间和匀减速运动的时间为：${t}_{1}={t}_{2}=\frac{v}{a}=\frac{20}{1}s=20s$，
匀加速和匀减速运动的位移为：${x}_{1}={x}_{2}=\frac{{v}^{2}}{2{a}_{0}}=\frac{400}{2}=200m$，
这段位移若以20m/s速度匀速行驶所需的时间为：${t}_{0}=\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{v}=\frac{200+200}{20}s=20s$，
则过一个站台节省的时间为：△t=t₁+t₂+t′-t₀=20+20+300-20s=320s，
新方案使火车从北京到广州缩短的时间为：t=30△t=30×320s=9600s=160min．
答：（1）火车正上方提供吊舱运行的轨道至少要6200m．
（2）新方案使火车从北京到广州缩短了160min．

点评 解决本题的关键知道火车在整个过程中的运动规律，结合速度时间公式、速度位移公式进行求解，知道缩短的时间等于传统的运动时间减去新方案的时间之差．