Question

15．如图1所示，甲、乙两小球位于h=45m的同一高度，零时刻由静止释放甲球，1s后再由静止释放乙球，释放后两球均做自由落体运动．（重力加速度g取10m/s²），求：

（1）释放乙球时，甲球离地高度
（2）甲小球落地时，甲、乙两小球之间的竖直距离
（3）从甲小球下落开始计时，分析全过程甲、乙两球之间的竖直距离与时间的关系，并用图象（图2）准确表示．（球落地后立即原地静止）

Answer 1

分析 （1）根据位移时间公式求出甲球1s内下落的高度，从而得出甲球离地的高度．
（2）根据位移时间公式求出甲球落地的时间，从而得出乙球下落的时间，根据位移是公式求出乙球下落的高度，从而得出两球之间的竖直距离．
（3）根据位移时间公式求出各段时间内甲乙两球之间距离的表达式，从而作出图线．

解答 解：（1）释放乙球时，甲下落高度h₁=$\frac{1}{2}$gt₁²=$\frac{1}{2}×10×1m$=5m
得甲离地高度△h₁=h-h₁=40m．
（2）由h=$\frac{1}{2}$gt₂²，得甲球落地时间t₂=$\sqrt{\frac{2h}{g}}=\sqrt{\frac{2×45}{10}}s$=3s，
此时乙下落高度h₂=$\frac{1}{2}$g（t₂-1）²=$\frac{1}{2}×10×（3-1）^{2}$=20m
所以甲、乙之间的距离△h₂=h-h₂=25m
（3）从甲下落开始计时，甲下落高度y₁=$\frac{1}{2}$gt²，乙球下落高度y₂=$\frac{1}{2}$g（t-1）²，两者之间的高度差△y=y₁-y₂
在0～1s内，y₁=$\frac{1}{2}$gt²，y₂=0，两球的竖直距离随时间的关系为△y₁=y₁-y₂=$\frac{1}{2}$gt²=5t²
在1～3s内，y₁=$\frac{1}{2}$gt²，y₂=$\frac{1}{2}$g（t-1）²，两小球的竖直距离随时间的关系为：△y₂=y₁-y₂=10t-5
在3～4s内，y₁=45m，y₂=$\frac{1}{2}$g（t-1）²，两小球的竖直距离随时间的关系为：△y₃=y₁-y₂=40+10t-5t²
则图象如图所示．
答：（1）释放乙球时，甲球离地高度为40m．
（2）甲小球落地时，甲、乙两小球之间的竖直距离为25m．
（3）如图所示．

点评 解决本题的关键知道自由落体运动的运动规律，结合运动学公式灵活求解，难度不大．