Question

木星至少有16颗卫星，1610年1月7日伽利略用望远镜发现了其中的4颗．这4颗卫星被命名为木卫1、木卫2、木卫3和木卫4．他的这个发现对于打破“地心说”提供了重要的依据．
（1）若将木卫1、木卫2绕木星的运动看作匀速圆周运动，则木卫2的平均轨道半径大于木卫1的平均轨道半径．试比较木卫1和木卫2谁的向心加速度大？（请写出必要的推导过程和运算结果，简要说明理由）
（2）已知木卫1绕木星运行的平均轨道半径为R₁，木星的半径为R₂，木星表面上的重力加速度为g，若不考虑木星的自转的影响，则可由以上三个量计算出木卫1绕木星运行的线速度．请写出运行过程和运算结果．

Answer 1

分析：（1）研究卫星绕木星表面做匀速圆周运动，根据万有引力提供圆周运动所需的向心力，列出等式表示出向心加速度，已知木卫2的轨道半径大于木卫1的轨道半径；
（2）根据万有引力公式求出木卫1绕木星运动的线速度的表达式，再结合木星的黄金代换式即可求解．

解答：解：（1）设木星的质量为M，卫星质量为m，卫星的轨道半径为R，则有G

Mm

R2

=ma①
∴a=

GM

R2

②
由于木卫1的轨道半径小于木卫2的轨道半径，所以木卫1的向心加速度大于木卫2的向心加速度．
（2）设木星的质量为M，木卫1绕木星运动的线速度为v，木卫1的质量为m，则有m

v2

R1

=G

Mm

R 2 1

③
∴v=

GM R1

④
设木星表面一个物体的质量为m′，则有m′g=G

Mm′

R 2 2

⑤
∴g

R

2 2

=GM⑥
⑥式代入④式可得v=R2

g R1

答：（1）木卫1的向心加速度大于木卫2的向心加速度；
（2）木卫1绕木星运行的线速度为R2

g R1

．

点评：要比较一个物理量大小，我们应该把这个物理量先表示出来，在进行比较，向心力的公式选取要根据题目提供的已知物理量或所求解的物理量选取应用．