Question

15．一个平行板电容器，间距为d，电压为U，上极板带正电，下极板带负电，有正交于电场的磁场，垂直纸面向里，下极板有一个电子（e，m），静止释放，其运动轨迹恰与上极板相切，求：
（1）磁场的磁感应强度大小；
（2）当电子运行到上极板时，其轨迹的曲率半径（等效的匀速圆周运动的半径）．

Answer 1

分析 （1）可以把电子的运动分解为向右的匀速直线运动与在竖直方向沿顺时针方向的匀速运动的合运动，根据匀速运动应用平衡条件求出电子的速度，电子运动轨迹与上板相切，求出电子的运动轨道半径，然后求出磁感应强度．
（2）电子运动到最高点时求出电子的速度，应用牛顿第二定律求出电子的加速度，然后应用向心加速度公式求出电子的曲率半径．

解答 解：（1）可以把电子的运动分解为水平向右速度为v的匀速直线运动与竖直平面内沿顺时针方向的匀速圆周运动，
电子在水平方向向右做匀速直线运动，电子受力情况与速度如图所示，
电子在水平方向向右做匀速直线运动，由平衡条件得：qvB=qE，解得：v=$\frac{E}{B}$=$\frac{U}{dB}$；
电子另一个分运动是在洛伦兹力作用下的匀速圆周运动，电子运动轨迹恰与上极板相切，
则电子做圆周运动的轨道半径：r=$\frac{d}{2}$，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得：
evB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，解得：r=$\frac{mv}{eB}$=$\frac{mU}{e{B}^{2}d}$=$\frac{d}{2}$，解得：B=$\frac{1}{d}$$\sqrt{\frac{2mU}{e}}$；
（2）电子做圆周运动运动到最高点时，圆周运动的速度方向水平向右，
此时电子的合速度：v′=v+v=2v，所受合力：F=2evB-eE=eE=$\frac{eU}{d}$，
由牛顿第二定律得：a=$\frac{F}{m}$=$\frac{eU}{md}$，加速度：a=$\frac{v{′}^{2}}{R}$，
电子运行到上极板时其轨迹的曲率半径：R=$\frac{v{′}^{2}}{a}$=$\frac{4{v}^{2}md}{Ue}$=$（{\frac{U}{Bd}）}^{2}$•$\frac{4md}{Ue}$=$\frac{4mU}{e{B}^{2}d}$；
答：（1）磁场的磁感应强度大小为$\frac{1}{d}$$\sqrt{\frac{2mU}{e}}$；
（2）当电子运行到上极板时，其轨迹的曲率半径为$\frac{4mU}{e{B}^{2}d}$．

点评 本题考查了电子在电场与磁场中的运动，电场力对电子做正功，电子速率不断增大，电子在磁场中受到洛伦兹力作用使其偏转，电子的运动是螺旋线运动，电子运动较复杂，用常规思路无法解题，巧妙地运用运动的合成与分解的观点即可解题，本题难度很大，是一道难题．