Question

如图（a），小球甲固定于水平气垫导轨的左端，质量m=0.4kg的小球乙可在导轨上无摩擦地滑动，甲、乙两球之间因受到相互作用而具有一定的势能，相互作用力沿二者连线且随间距的变化而变化．现已测出势能随位置x的变化规律如图（b）中的实线所示．已知曲线最低点的横坐标x₀=20cm，虚线①为势能变化曲线的渐近线，虚线②为经过曲线上某点的切线．
（1）将小球乙从x₁=8cm处由静止释放，小球乙所能达到的最大速度为多大？
（2）假定导轨右侧足够长，将小球乙在导轨上从何处由静止释放，小球乙不可能第二次经过x₀=20cm的位置？并写出必要的推断说明；
（3）若将导轨右端抬高，使其与水平面的夹角α=30°，如图（c）所示．将球乙从x₂=6cm处由静止释放，小球乙运动到何处时速度最大？并求其最大速度；

Answer 1

分析：（1）球乙运动到x₀=20cm位置时势能最少，速度最大，根据能量守恒求解
（2）在0＜x＜20cm区间内两球之间作用力为排斥力，在20cm＜x＜∞区间内两球之间作用力为吸引力．
（3）x₃=12cm处的切线斜率的意义是表明此处乙球受到甲球的排斥力大小，根据能量守恒列出等式求解．

解答：解：（1）球乙运动到x₀=20cm位置时势能最少，速度最大，
根据能量守恒得：
0+E_p1=

1

2

m

v

2 m

+0，
解出v_m=

2Ep1 m

m/s=1m/s                                 
（2）在0＜x＜6cm区间内将小球乙由静止释放，不可能第二次经过x₀．     
原因：在0＜x＜20cm区间内两球之间作用力为排斥力，在20cm＜x＜∞区间内两球之间作用力为吸引力，无穷远处和6cm处的势能均为0.28J．
若小球乙的静止释放点在6cm＜x＜∞区间，小球乙将做往复运动，多次经过x₀=20cm的位置．
而静止释放点在0＜x＜6cm区间内时，初态势能大于0.28J，小球乙将会运动到无穷远处而无法返回，只能经过x₀位置一次．                
（3）x₃=12cm处的切线斜率

△Ep

△x

=

0.34

0.17

J/m=2J/m，
表明此处乙球受到甲球2N的排斥力，乙球此处受到重力的分力mgsinα=2N                    
所以，乙球在x₃=12cm处时，所受合外力等于零，速度最大，
从图中读出x₃=12cm处的势能E_p3=0.1J，x₂=6cm处的势能E_p2=0.28J，
根据能量守恒得，
0+E_p2+mgx₂sinα=

1

2

m

v′

2 m

+E_p3+mgx₃sinα
解出

v′

2 m

=

0.3

m/s=0.55m/s        
答：（1）将小球乙从x₁=8cm处由静止释放，小球乙所能达到的最大速度为1m/s
（2）静止释放点在0＜x＜6cm区间内时，初态势能大于0.28J，小球乙将会运动到无穷远处而无法返回，只能经过x₀位置一次．
（3）乙球在x₃=12cm处时，速度最大，其最大速度是0.55m/s．

点评：本题考查了识别识别图象，从图象中获取有用物理信息的能力，此类题目文字叙述一般较多，关于渐近线，有的同学没有学过，不懂渐近线是什么，要清楚知道渐近线是曲线的趋势线，知道其物理意义．