Question

6．光滑绝缘的圆形轨道竖直放置，半径为R，在其最低点A处放一质量为m的带电小球，整个空间存在匀强电场，使小球受到电场力的大小为$\frac{\sqrt{3}}{3}$mg，方向水平向右，现给小球一个水平向右的初速度v₀，使小球沿轨道向上运动，若小球刚好能做完整的圆周运动，求v₀及运动过程中的最大支持力．

Answer 1

分析 结合受力分析，求出小球可能受到的合外力等于0的位置，当小球刚好通过该点关于O对称的B点时，就能做完整的圆周运动，此时在B点由电场力和重力的合力提供向心力，可求出B点的速度，由动能定理求出V₀．然后再由动能定理求出在最低点的速度，结合牛顿第二定律即可求出最大支持力．

解答 解：（1）假设小球能静止在C点，则C点为该复合场中的等效最低的，小球受到重力、电场力和轨道的支持力，如图，由平衡条件得：

电场力 F=mgtanθ
由于F=$\frac{\sqrt{3}}{3}$mg
所以：θ=30°   ①
当小球刚好通过c点关于O对称的B点时，就能做完整的圆周运动，此时在B点由电场力和重力的合力提供向心力，得：
$\frac{m{v}_{B}^{2}}{R}=\sqrt{（mg）^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{3}mg）^{2}}=\sqrt{\frac{4}{3}}mg$
所以：${v}_{B}^{2}=\sqrt{\frac{4}{3}}mgR$  ②
小球由A到B的过程中重力和电场力做功，由功能关系得：
$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}=mgR（1+cosθ）+FRsinθ$$+\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$  ③
联立①②③得：${v}_{0}=\sqrt{2gR（1+\frac{7\sqrt{3}}{6}）}$
（2）结合竖直平面内的圆周运动的特点可知，小球在等效最低点C点的速度最大，受到的轨道的支持力最大．
小球由C到B的过程中：$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}=mg2Rcosθ+F2Rsinθ$$+\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$  ④
小球在C点受到的支持力与重力、电场力的合力提供向心力，得：
$\frac{m{v}_{C}^{2}}{R}={F}_{n}-\sqrt{（mg）^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{3}mg）^{2}}$  ⑤
联立①②④⑤得：${F}_{N}=（4+\frac{2\sqrt{3}}{3}）mg$
答：v₀的大小是$\sqrt{2gR（1+\frac{7\sqrt{3}}{6}）}$，运动过程中的最大支持力是$（4+\frac{2\sqrt{3}}{3}）mg$．

点评 本题抓住小球经B点时速度最小，相当于竖直平面的最高点，根据指向圆心的合力提供圆周运动向心力为解题关键．