Question

15．如图所示，倾角θ=37°、高为h的斜面固定在水平地面上．小球从高为H（h＜H＜$\frac{13}{9}h$）处自由下落，总能与斜面上的特定小装置做无能量损失的碰撞后，水平抛出．小球自由下落到斜面上的落点距斜面左侧的水平距离x满足一定条件时，小球能直接落到水平地面．已知cos37°=$\frac{4}{5}$，sin37°=$\frac{3}{5}$，忽略空气阻力．
（1）求小球落到水平地面时的速度大小．
（2）要使小球做平抛运动后能直接落到水平地面，求x应满足的条件．
（3）在满足（2）的条件下，求小球运动最长时间．

Answer 1

分析 （1）由于小球与斜面碰撞无能量损失，自由下落和平抛运动机械能也守恒，所以小球整个运动过程中机械能守恒，据此列式求解小球落到地面上的速度大小；
（2）小球与斜面碰撞后做平抛运动，当正好落在斜面底端时，x最小，根据平抛运动的基本公式结合几何关系、动能定理求出x的最小值，而x的最大值即为h，从而求出x的范围；
（3）根据竖直方向做自由落体运动，由运动学公式列出总时间的表达式，再由数学知识求解最长的时间．

解答 解：（1）设小球落到水平地面时的速度为v，由机械能守恒得，
mgH=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$，
解得v=$\sqrt{2gH}$．
（2）小球自由下落的落点距斜面左侧的水平距离x时，设小球做自由落体运动的末速度为v₀，由运动学公式得，
${{v}_{0}}^{2}=2g（H-h+\frac{3}{4}x）$，
设小球做平抛运动落到水平地面所用的时间为t，由平抛运动规律得，
$h-\frac{3}{4}x=\frac{1}{2}g{t}^{2}$，
s=v₀t，
联立解得s=$2\sqrt{（H-h+\frac{3}{4}x）（h-\frac{3}{4}x）}$．
由题意得，使小球做平抛运动后能直接落到水平地面，应有：
s$＞\frac{4}{3}h-x$，
解得$\frac{4}{3}h＞x＞（\frac{4}{3}h-\frac{12}{13}H）$．
（3）小球自由下落的落点距斜面左侧的水平距离x时，设小球做自由落体所用时间为t₀，由运动学公式得，
$（H-h+\frac{3}{4}x）=\frac{1}{2}g{{t}_{0}}^{2}$．
设小球由释放到落到水平地面运动的时间为t_总，则
t_总=t₀+t，
解得${t}_{总}=\sqrt{\frac{2（H-h+\frac{3}{4}x）}{g}}+\sqrt{\frac{2（h-\frac{3}{4}x）}{g}}$，
整理得，${{t}_{总}}^{2}=\frac{2H}{g}+\frac{4\sqrt{（H-h+\frac{3}{4}x）（h-\frac{3}{4}x）}}{g}$，
由上式可知，当H-h+$\frac{3}{4}x$=h-$\frac{3}{4}x$，即x=$\frac{2}{3}（2h-H）$时，小球运动时间最长，设为t_m，
则${t}_{m}=2\sqrt{\frac{H}{g}}$．
答：（1）小球落到水平地面时的速度大小为$\sqrt{2gh}$．
（2）x应满足的条件为$\frac{4}{3}h＞x＞（\frac{4}{3}h-\frac{12}{13}H）$．
（3）小球运动最长时间为$2\sqrt{\frac{H}{g}}$．

点评 本题是机械能守恒与自由落体运动、平抛运动的综合，既要把握每个过程的物理规律，更要抓住它们之间的联系，比如几何关系，运用数学上函数法求解极值．