Question

8．如图所示，在竖直平面的xoy坐标系内，一根长为l的不可伸长的细绳，上端固定于+y轴上的A点，另一端系一质量为m的小球，在+x轴上的P点固定一个表面光滑的小钉，P点与A点保持相距$\frac{3}{4}$l．现拉小球使细线绷直并处在水平位置，然后由静止释放小球，当细绳碰到钉子后，小球就以P点为圆心做圆周运动，已知重力加速度大小为g，求：
（1）若调节A点的位置，使OA=$\frac{l}{2}$，则小球运动到最低点时，细绳中的拉力为多少；
（2）若小球能在竖直平面内做完整的圆周运动，求OA的取值范围；
（3）在第二问中，若小球经过最低点时绳子立即断开，试确定小球经过y轴时的坐标范围．

Answer 1

分析 （1）根据动能定理求最低点速度，再由牛顿第二定律求细绳中的拉力；
（2）由动能定理及向心力公式求OA的范围；
（3）绳子恰好断开小球从最低点开始做平抛运动，平抛运动的规律求解

解答 解：（1）小球由最高点到最低点，根据动能定理有：
$mg（\frac{l}{2}+\frac{l}{4}）=\frac{1}{2}m{v}_{\;}^{2}$
根据牛顿第二定律有：$T-mg=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$
而且：$R=\frac{l}{4}$，整理可以得到：T=7mg．
（2）设OA的距离为h，从小球释放到圆周运动的最高点，根据动能定理：
$mg（h-\frac{l}{4}）=\frac{1}{2}m{v}_{\;}^{2}$，
若小球恰好能过圆周运动的最高点，则：
$mg=m\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$，
则h的最小值为：${h}_{min}^{\;}=\frac{3}{8}l$
根据题意可得，当P移到O点时，则OA的高度为${h}_{max}^{\;}=\frac{3}{4}l$，且能过最高点，
则OA的取值范围为：$\frac{3}{8}l≤h≤\frac{3}{4}l$．
（3）当$h=\frac{3}{4}l$时，小球直接摆下．正好过坐$（0．-\frac{1}{4}l）$；当$h=\frac{3}{8}l$时，$OP=\sqrt{A{P}_{\;}^{2}-O{A}_{\;}^{2}}$，且小球过最低点的速度为${v}_{2}^{\;}$，
根据动能定理：$mg（\frac{3}{8}l+\frac{1}{4}l）=\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$，
细绳断开后小球做平抛运动，水平方向有$OP={v}_{2}^{\;}t$，
竖直方向下落的高度$H=\frac{1}{2}g{t}_{\;}^{2}$，
可以得到：$H=\frac{27}{160}l$，
所以最低点的纵坐标为$\frac{27}{160}l+\frac{1}{4}l=\frac{67}{160}l$．
答：（1）若调节A点的位置，使OA=$\frac{l}{2}$，则小球运动到最低点时，细绳中的拉力为7mg；
（2）若小球能在竖直平面内做完整的圆周运动，OA的取值范围$\frac{3}{8}l≤h≤\frac{3}{4}l$；
（3）在第二问中，若小球经过最低点时绳子立即断开，小球经过y轴时的坐标范围$（0，-\frac{1}{4}l）$，$（0，-\frac{67}{160}l）$之间

点评 小球在运动过程中只有重力做功，机械能守恒，应用机械能守恒定律与牛顿第二定律即可正确解题；解题时要注意，小球到达最高点时，重力和拉力的合力提供向心力