Question

3．发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道1，然后经点火，使其沿椭圆轨道2运行，最后再次点火，将卫星送入同步圆轨道3，轨道1、2相切于Q点，轨道2、3相切于P点，如图所示．
（1）卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，以下说法正确的是CD：
A．卫星在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率．
B．卫星在轨道3上的角速度大于在轨道1上的角速度．
C．卫星在轨道1上运动一周的时间小于它在轨道2上运动一周的时间．
D．卫星在轨道2上经过P点时的加速度等于它在轨道3上经过P点时的加速度．
（2）已知地球表面的重力加速度大小为g，地球的自转周期为T，卫星在同步圆轨道3上的轨道半径为r，求：地球的半径？

Answer 1

分析 （1）根据人造卫星的万有引力等于向心力G$\frac{mM}{{r}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{r}$=mω²r=ma，列式求出加速度、线速度的表达式进行讨论；
（2）根据万有引力提供向心力，万有引力等于重力，得出轨道半径与周期的关系，从而求出地球的半径．

解答 解：（1）A、卫星绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，设卫星的质量为m、轨道半径为r、地球质量为M，有G$\frac{mM}{{r}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，
得v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$．轨道3半径比轨道1半径大，故卫星在轨道1上线速度较大，故A错误；
B、根据万有引力提供向心力G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=mω²r，得ω=$\sqrt{\frac{GM}{{r}^{3}}}$．轨道3半径比轨道1半径大，故卫星在轨道1上角速度较小，故B错误；
C、根据牛顿第二定律和万有引力定律G$\frac{mM}{{r}^{2}}$=mr（$\frac{2π}{T}$）²得，T=$\sqrt{\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{GM}}$，所以在轨道1上运动一周的时间小于它在轨道2上运动一周的时间．故C正确；
D、因为G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=ma，得a=$\frac{GM}{{r}^{2}}$，所以卫星在转移轨道2上经过P点时的加速度等于它在轨道3上经过P点时的加速度．故D正确．
故选：CD
（2）根据G$\frac{mM}{{r}^{2}}$=mr（$\frac{2π}{T}$）²得，
T=$\sqrt{\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{GM}}$．
又GM=gR²
联立两式得，R=$\frac{2πr}{T}$$\sqrt{\frac{r}{g}}$．
答：地球的半径为$\frac{2πr}{T}$$\sqrt{\frac{r}{g}}$．

点评 本题关键抓住万有引力提供向心力，先列式求解出加速度、线速度、角速度的表达式，再进行讨论．要能够根据题目的要求选择恰当的向心力的表达式；
解决本题的关键掌握万有引力等于重力和万有引力提供向心力这两个理论，并能熟练运用．