Question

2．如图所示，一垂直放置的高为15.0cm的圆柱中空玻璃容器，其底部玻璃较厚，底部顶点A点到容器底平面中心B点的距离为8.0cm，底部上底为一凸起的球冠，球心C点在A点正下方，球的半径为1.75cm，已知空气和容器玻璃的折射率分别是n₀=1.0，n₁=1.56，只考虑轴光线成像．已知当λ＜＜1，sinλ≈λ．
（1）当容器内未装任何液体时，求从B点发出的光线通过平凸玻璃柱，在玻璃柱对称轴上所成的像的位置，并判断像的虚实；
（2）当容器内装满折射率为1.30的液体时，求从B点发出的光线通过平凸玻璃柱的上表面折射后所成像点的位置，并判断这个像的虚实．

Answer 1

分析 （1）未加入液体时，杯底凸球面的两侧介质的折射率分别为n和n₀．在图中，B为画片中心，由B发出经过球心C的光线PO经过顶点不变方向进入空气中；由B发出的与BO成α角的另一光线BD在D处折射．设D处入射角为i，折射角为r，半径CD与DO的夹角为θ，由折射定律和几何关系结合求解．
（2）同理，在当容器内装满折射率为1.30的液体时，仍然依以上的方法即可求出．

解答 解：（1）当容器内未装任何液体时，杯底凸球面的两侧介质的折射率分别为n₀=1.0和n₁=1.56，在图中，由B发出经过球心C的光线BA经过顶点不变方向进入空气中；由B发出的与BA成α角的另一光线BD在D处折射．设D处入射角为θ，折射角为φ，并与前一条光线交于E点，E点就是B的像点的位置．

由折射定律和几何关系可得
n₁sinθ=n₀sinφ；  γ=θ+α；φ=γ+β    ①
在△BCD和△CDE中，由正弦定理，有$\frac{\overline{CD}}{sinα}=\frac{\overline{BC}}{sinθ}$；$\frac{\overline{CD}}{sinβ}=\frac{\overline{CE}}{sinφ}$   ②
考虑近轴光线成像，α，β，γ、φ、都是小角度，则有
n₁θ=n₀φ；$θ•\overline{CD}=α•\overline{BC}$；$φ•\overline{CD}=β•\overline{CE}$ ③
由③式，可得：$α+θ=φ（1+\frac{\overline{CD}}{\overline{BC}}）•\frac{{n}_{0}}{{n}_{1}}=0.82φ＜φ$  ④
考虑到光线是汇聚的，故所成的像是实像，由以上各式可得：
$\overline{CE}=\frac{φ}{β}•\overline{CD}=\frac{1}{1-\frac{{n}_{0}}{{n}_{1}}-\frac{\overline{CD}}{\overline{BC}}•\frac{{n}_{0}}{{n}_{1}}}•\overline{CD}$     ⑤
将数据代入公式，得：
$\overline{CE}=\frac{1}{1-\frac{1}{1.56}-\frac{1.75}{8.0-1.75}×\frac{1}{1.56}}×1.75=9.75$cm   
或：$\overline{BE}=\overline{BA}-\overline{AC}+\overline{CE}=（8.0-1.75+8.75）=16.0$cm
所以，B点发出的光在玻璃柱对称轴上所成的像点的位置在C点正上方9.75cm处（或在B点正上方16.0cm处）
（2）当容器内装满折射率为1.30的液体时，容器底凸球面的两侧介质的折射率分别为n₂=1.30和n₁=1.56，如图，在图中，由B发出经过球心C的光线BA经过顶点不变方向进入液体中；由B发出的与BA成α角的另一光线BD在D处折射．设D处入射角为θ，折射角为φ，并与前一条光线交于E点，E点即由B点发出的光线第一次折射后的成像的位置．

由折射定律和几何关系可得
 n₁sinθ=n₂sinφ；  γ=θ+α；γ=φ+β    ⑥
在△BCD和△CDE中，由正弦定理，有$\frac{\overline{CD}}{sinα}=\frac{\overline{BC}}{sinθ}$；$\frac{\overline{CD}}{sinβ}=\frac{\overline{CE}}{sinφ}$   ⑦
考虑近轴光线成像，α，β，γ、φ、都是小角度，则有
n₁θ=n₂φ；$θ•\overline{CD}=α•\overline{BC}$；$φ•\overline{CD}=β•\overline{CE}$   ⑧
由⑧式，可得：$α+θ=φ（1+\frac{\overline{CD}}{\overline{BC}}）•\frac{{n}_{2}}{{n}_{1}}=1.07φ＞φ$  ⑨
考虑到光线是汇聚的，故所成的像是虚像，由以上各式可得：
$\overline{CE}=\frac{φ}{β}•\overline{CD}=\frac{1}{\frac{{n}_{2}}{{n}_{1}}+\frac{\overline{CD}}{\overline{BC}}•\frac{{n}_{2}}{{n}_{1}}-1}•\overline{CD}$  
将数据代入公式，得：$\overline{CE}=\frac{1}{\frac{1.30}{1.56}+\frac{1.75}{8.0-1.75}×\frac{1.30}{1.56}-1}×1.75=26.25$cm
所以B点发出的光在玻璃柱对称轴上所成的像点的位置在C点正下方26.25cm处
答：（1）当容器内未装任何液体时，从B点发出的光线通过平凸玻璃柱，在玻璃柱对称轴上所成的像的位置在C点的正上方9.75cm处，是实像；
（2）当容器内装满折射率为1.30的液体时，从B点发出的光线通过平凸玻璃柱的上表面折射后在玻璃柱对称轴上所成的像的位置在C点的正下方26.25cm处，是虚像．

点评 该题考查光的成像问题，解决本题的关键是画出光路图，借助透镜成像规律，结合数学知识进行解答．