Question

如图，在平面直角坐标系xoy内，第Ⅰ象限存在沿y轴负方向的匀强电场；第Ⅰ、Ⅳ象限某一区域内存在垂直于坐标平面向外的圆形匀强磁场，磁感应强度为B．一质量为m、电荷量为q的带正电的粒子（不计粒子重力），从M（0，

3

h）点，以速度v₀垂直于y轴射入电场，刚好经P（2h，0）点进入该圆形匀强磁场区域，最后以垂直于y轴的方向射出该磁场．求：
（1）电场强度大小E；
（2）粒子在磁场中运动的轨道半径r；
（3）满足题设条件的圆形磁场区域的最小面积．

Answer 1

分析：（1）粒子先垂直进入电场做类平抛运动，运用运动的分解法，由牛顿第二定律和运动学公式结合求解场强E的大小．
（2）根据动能定理可求出粒子进入进入磁场时的速度v．进入磁场后，由洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律求解轨道半径r．
（3）粒子从P（2h，0）点进入该圆形匀强磁场区域，最后以垂直于y轴的方向射出该磁场，由几何知识得到速度v与x轴的夹角．最小的磁场区域是以入射点和出射点为直径的圆．根据几何关系求解．

解答：解：粒子的运动轨迹如右图所示
（1）设粒子在电场中运动的时间为t₁
x方向有   2h=v₀t₁
y方向有   

3

h=

1

2

a

t

2 1

根据牛顿第二定律有Eq=ma
解得：E=

3 m v 2 0

2qh

（2）设粒子进入磁场时速度为v，根据动能定理
 Eq

3

h=

1

2

mv2-

1

2

m

v

2 0

根据牛顿第二定律
  Bqv=

mv2

r

解得：r=

2mv0

Bq

（3）设速度v与x轴的夹角为θ，
则 cosθ=

v0

v

=

1

2

，即θ=60°
由几何关系得最小圆的半径
 R=rsin60°=

3

2

r
最小圆的面积 s=πR²
最小圆的面积 s=

3πm2 v 2 0

B2q2

答：
（1）电场强度大小E为

3 m v 2 0

2qh

；
（2）粒子在磁场中运动的轨道半径r为

2mv0

Bq

；
（3）满足题设条件的圆形磁场区域的最小面积为

3πm2 v 2 0

B2q2

．

点评：本题考查了带电粒子在匀强电场中的类平抛运动，在磁场中的匀速圆周运动，对数学的几何能力要求较高，关键画出粒子的轨迹图，结合牛顿第二定律以及向心力等知识进行求解．