Question

6．如图所示，半径R=1.0m的光滑圆弧轨道固定在竖直平面内，轨道的一个端点B和圆心O的连线与水平方向间的夹角θ=37°，另一端点C为轨道的最低点．C点右侧的水平路面上紧挨C点放置一木板，木板质量M=1kg，上表面与C点等高．质量m=1kg的物块（可视为质点）从空中A点以v₀=1.2m/s的速度水平抛出，恰好从轨道的B端沿切线方向进入轨道．已知物块与木板间的动摩擦因数μ₁=0.2，木板与路面间的动摩擦因数μ₂=0.05．sin 37°=0.6，cos 37°=0.8，取g=10m/s²．试求：
（1）AB的高度差
（2）物块经过轨道上的C点时对轨道的压力大小；
（3）设木板受到的最大静摩擦力跟滑动摩擦力相等，则木板至少多长才能使物块不从木板上滑下？

Answer 1

分析 （1）有速度分解即可求得，然后根据动能定理求得下落高度
（2）物块从A到B做平抛运动，由平抛规律可求得B点的速度；由机械能守恒可求得C点的速度；由向心力公式可求得物块在C点受到的支持力，由牛顿第三定律可求得对轨道的压力；
（3）由牛顿第二定律可求得物块和木板的加速度，要使物块不掉下去，两物体最后应达到相同速度并且刚好到达最右端，由运动学公式可求得木板的长度．

解答 解：（1）设物块到达B点时的速度为V_B，则：V_Bsin37°=V₀
解得：V_B=2m/s
从A到B根据动能定理可知：$mgh=\frac{1}{2}{mv}_{B}^{2}-\frac{1}{2}{mv}_{A}^{2}$
解得：h=0.128m
（2）设物块经过C点的速度为Vc，由动能定理得：$mg（R+Rsin37°）=\frac{1}{2}{mv}_{C}^{2}-\frac{1}{2}{mv}_{B}^{2}$
物块经过C点时，设轨道对物块的支持力为N，由牛顿第二定律得：$N-mg=\frac{{mv}_{C}^{2}}{R}$
解得：N=46N
由牛顿三定律可知，
物体经过圆轨道上的C点时对轨道的压力大小为46N，方向竖直向下  
（3）物块在木板上滑动时，设物块和木板的加速度大小分别为a₁、a₂，
则：μ₁mg=ma₁
μ₁mg-μ₂（M+m）g=Ma₂
解得：${a}_{1}=2m/{s}^{2}$；${a}_{2}=1m/{s}^{2}$
设物块和木板经过时间t达到共同速度V，其位移分别为．S₁、S₂，则：
对物块：V=V_C-a₁t
对木板：V=a₂t
解得：t=2sV=2m/s
设木板长度至少为L
时间t内物块的位移：${s}_{1}=\frac{{v}_{C}+v}{2}t=8m$
时间t内木板的位移：${s}_{2}=\frac{v}{2}=2m$
由题意得：L≥S₁-S₂=6m
即木板长度至少6m才能使物块不从木板上滑下．
答：（1）AB的高度差为0.128m；
（2）物块经过圆轨道上的C点时对轨道的压力46N．
（3）设木板受到的最大静摩擦力跟滑动摩擦力相等，则木板至少6m才能使物块不从木板上滑下．

点评 本题将平抛、圆周运动及直线运动结合在一起考查，注意分析运动过程，并根据过程正确的选择物理规律求解．