Question

19．小明站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质量为m的小球，甩动手腕，使球在竖直平面内做圆周运动．当球某次运动到最低点时，绳突然断掉，球飞离水平距离d后落地，如图所示．已知握绳的手离地面高度为d，手与球之间的绳长为$\frac{3}{4}$d，重力加速度为g．忽略手的运动半径和空气阻力．求：
（1）绳断时小球速度的大小；
（2）绳断前瞬间绳对小球拉力的大小；
（3）小球落地时速度的大小；
（4）改变绳长，使球重复上述运动．若绳仍在球运动到最低点时断掉，要使球抛出的水平距离最大，绳长应为多少？最大水平距离为多少？

Answer 1

分析 （1）绳断后小球做平抛运动，根据平抛运动的规律即可求解绳断时球的速度大小v₁．
（2）设绳能承受的最大拉力大小为T，这也是球受到绳的最大拉力大小．根据向心力公式即可求解；
（3）绳子断裂后，小球做平抛运动，由动能定理或机械能守恒定律可以求出小球落地时的速度大小v．
（4）设绳长为l，绳断时球的速度大小为v₂，绳承受的最大推力不变，根据圆周运动向心力公式及平抛运动的规律结合数学知识即可解题．

解答 解：（1）根据$d-\frac{3}{4}d=\frac{1}{2}g{t}^{2}$得，t=$\sqrt{\frac{d}{2g}}$，
则绳断时小球速度大小${v}_{1}=\frac{d}{t}=\sqrt{2gd}$．
（2）根据牛顿第二定律得，$F-mg=m\frac{{{v}_{1}}^{2}}{\frac{3d}{4}}$，
解得F=$\frac{11}{3}mg$．
（3）小球落地时竖直分速度${v}_{y}=gt=\sqrt{\frac{gd}{2}}$，小球落地时速度大小v=$\sqrt{{{v}_{1}}^{2}+{{v}_{y}}^{2}}=\sqrt{2gd+\frac{gd}{2}}=\sqrt{\frac{5gd}{2}}$．
（4）设绳长为l，绳断时球的速度大小为v₃，绳承受的最大拉力不变，
由牛顿第二定律得：F-mg=$m\frac{{{v}_{2}}^{2}}{l}$，解得：${v}_{2}=\sqrt{\frac{8gl}{3}}$，
绳断后球做平抛运动，竖直位移为d-l，水平位移为x，
竖直方向：d-l=$\frac{1}{2}gt{′}^{2}$，水平方向：x=v₂t′，
解得：x=4$\sqrt{\frac{l（d-l）}{3}}$，
当l=$\frac{d}{2}$时，x有极大值，最大值：x_max=$\frac{2\sqrt{3}}{3}d$．
答：（1）绳断时小球速度的大小为$\sqrt{2gd}$；
（2）绳断前瞬间绳对小球拉力的大小为$\frac{11mg}{3}$；
（3）小球落地时速度的大小$\sqrt{\frac{5gd}{2}}$；
（4）若绳仍在球运动到最低点时断掉，要使球抛出的水平距离最大，绳长应为$\frac{d}{2}$，最大水平距离为$\frac{2\sqrt{3}}{3}d$．

点评 本题主要考查了圆周运动向心力公式及平抛运动的规律的应用，并能结合数学知识解题．