Question

12．如图所示，固定在水平地面上的光滑长直导轨槽，（图为俯视图，图中两组平行双直线表示槽的两侧壁）．槽内放置一个滑块，滑块的左半部是半径为R的半圆柱形光滑凹槽，滑块的宽度为2R，恰与槽的两内侧壁的间距相等，滑块可在槽内沿槽壁自由滑动．现有一金属小球（可视为质点）以水平初速度v₀沿槽的一侧壁冲向滑块，从滑块的半圆形槽口边缘进入滑块凹槽．已知金属小球的质量为m，滑块的质量为3m，整个运动过程中无机械能损失．求：
（1）当金属小球滑离滑块时，金属小球和滑块的速度各是多大；
（2）当金属小球经过滑块上的半圆柱形槽的最右端A点时，金属小球的对地速率．

Answer 1

分析 （1）小球与滑块作用的过程中，系统的动量守恒，机械能守恒，根据两大守恒求解金属小球滑离木质滑块时两者的速度大小；
（2）小球过A点时沿轨道方向两者有共同速度，根据动量守恒求出共同速度，根据机械能守恒求解金属小球的对地速率．

解答 解：（1）设滑离时小球和滑块的速度分别为v₁和v₂，球与滑块组成的系统动量守恒，以向右为正方向，由动量守恒定律得：
mv₀=mv₁+3mv₂，
在整个运动过程中无机械能损失，由机械能守恒定律得：
$\frac{1}{2}$mv₀²=$\frac{1}{2}$mv₁²+$\frac{1}{2}$•3mv₂²，
解得：v₁=-$\frac{{v}_{0}}{2}$，负号表示方向向左，v₂=$\frac{{v}_{0}}{2}$；
（2）小球过A点时沿轨道方向两者有共同速度v，设小球对地速度为v′，以向右为正方向，由轨道方向动量守恒得：
mv₀=（m+3m）v，
由机械能守恒定律得：$\frac{1}{2}$mv₀²=$\frac{1}{2}$•3mv²+$\frac{1}{2}$mv′²，
解得：v=$\frac{{v}_{0}}{4}$，v′=$\frac{\sqrt{13}}{4}$v₀；
答：（1）当金属小球滑离滑块时，金属小球和滑块的速度分别为$\frac{{v}_{0}}{2}$，方向：向左，v₂=$\frac{{v}_{0}}{2}$，方向：水平向右；
（2）当金属小球经过滑块上的半圆柱形槽的最右端A点时，金属小球的对地速率$\frac{\sqrt{13}}{4}$v₀．

点评 本题考查了求速度问题，解答此题的关键在于整个过程中满足机械能守恒和动量守恒，难点是抓住小球过A点时沿轨道方向两者有共同速度．