Question

（2010?湖南模拟）如图所示，一个小球（视为质点）从H=12m高处，由静止开始通过光滑弧形轨道AB，进入半径R=4m的竖直圆环，圆环轨道部分的动摩擦因数处处相等，当到达环顶C时，刚好对轨道压力为零；沿CB滑下后，进入光滑弧形轨道BD，且到达高度为h的D点时速度为零，则h之值可能为（g=10m/s²）（　　）

A．12m

B．10m

C．8.5m

D．7m

Answer 1

分析：据题，小球到达环顶C时，刚好对轨道压力为零，根据牛顿第二定律求出在C点的速度．根据动能定理研究小球从开始运动到上升到顶点过程，求出摩擦力做功．
小球沿轨道下滑，由于机械能有损失，所以沿CB下滑速度比沿BC上升速度小，因此对轨道压力变小，所受摩擦力变小，所以下滑时，摩擦力做功大小小于上升过程做的功．根据能量守恒求解h的范围，即可进行判断．

解答：解：小球到达环顶C时，刚好对轨道压力为零，在C点，由重力充当向心力，则
根据牛顿第二定律得：mg=m

v2

R

因R=4m
所以得：

1

2

mv²=

1

2

mgR=

1

2

mg?4=2mg
所以在C点，小球动能为2mg．以b点为零势能面，小球重力势能E_p=2mgR=8mg．
开始小球从H=12m 高处，由静止开始通过光滑弧形轨道ab，因此在小球上升到顶点时，根据动能定理得：
w_f+mg（12-8）=

1

2

mv²-0
所以摩擦力做功W_f=-2mg，此时机械能等于10mg，
之后小球沿轨道下滑，由于机械能有损失，所以下滑速度比上升速度小，
因此对轨道压力变小，所受摩擦力变小，所以下滑时，摩擦力做功大小小于2mg，机械能有损失，到达底端时小于10mg
此时小球机械能大于10mg-2mg=8mg，而小于10mg
所以进入光滑弧形轨道bd时，小球机械能的范围为，8mg＜E_p＜10mg
所以高度范围为8m＜h＜10m，故C正确．
故选：C．

点评：本题解题的关键是对小球运动过程的分析，知道小球在两个半圆上的摩擦力做功不等，难度适中．