Question

（2011?广东）如图所示，以A、B和C、D为端点的两半圆形光滑轨道固定于竖直平面内，一滑板静止在光滑水平地面上，左端紧靠B点，上表面所在平面与两半圆分别相切于B、C，一物块被轻放在水平匀速运动的传送带上E点，运动到A时刚好与传送带速度相同，然后经A沿半圆轨道滑下，再经B滑上滑板，滑板运动到C时被牢固粘连，物块可视为质点，质量为m，滑板质量M=2m，两半圆半径均为R，板长l=6.5R，板右端到C的距离L在R＜L＜5R范围内取值，E距A为S=5R，物块与传送带、物块与滑板间的动摩擦因数均μ=0.5，重力加速度取g．
（1）求物块滑到B点的速度大小；
（2）试讨论物块从滑上滑板到离开滑板右端的过程中，克服摩擦力做的功W_f与L的关系，并判断物块能否滑到CD轨道的中点．

Answer 1

分析：（1）物块滑到B点经过了两个过程，先是在传送带上的匀加速直线运动，由动能定理可求A点速度；
A到B的过程机械能守恒可求B点的速度．
（2）首先由动量守恒、动能定理判断物块与滑板在达到相同共同速度时，物块有没有离开滑板；再由物块在C点的速度用机械能守恒判断能否到达CD轨道的中点．

解答：解：（1）设物块运动到A和B点的速度分别为v₁、v₂，
由动能定理得μmgS=

1

2

m

v

2 1

…①
由机械能守恒定律  

1

2

m

v

2 2

=2mgR+

1

2

m

v

2 1

…②
联立①②，得v2=3

gR

…③
（2）设滑板与物块达到共同速度v₃时，位移分别为l₁、l₂，
由动量守恒定律mv₂=（m+M）v_3…④
由动能定理  μmgl1=

1

2

M

v

2 3

…⑤
-μmgl2=

1

2

m

v

2 3

-

1

2

m

v

2 2

…⑥
联立③④⑤⑥，得 l₁=2R　　　l₂=8R…⑦
物块相对滑板的位移△l=l₂-l₁ △l＜l
即物块与滑板在达到相同共同速度时，物块未离开滑板…⑧
物块滑到滑板右端时
若R＜L＜2R，W_f=μmg（l+L）…⑨
Wf=

1

4

mg(13R+2L)…⑩
若2R≤L＜5R，W_f=μmg（l+l₁）…（11）
Wf=

17

4

mgR…（12）
设物块滑到C点的动能为E_k，
由动能定理 -Wf=Ek-

1

2

m

v

2 2

…（13）
L最小时，克服摩擦力做功最小，因为L＞R，
由③⑩（13）确定E_k小于mgR，则物块不能滑到CD轨道中点．
答：（1）物块滑到B点的速度v2=3

gR

     （2）物块不能滑到CD轨道中点．

点评：本题考查动量守恒和机械能守恒以及有摩擦的板块模型中克服摩擦力做的功．判断物块与滑板在达到相同共同速度时，物块未离开滑板是关键，是一道比较困难的好题．