Question

如图所示，P为位于某一高度处的质量为m的物块，B为位于水平地面上的质量为M的特殊长平板，

m

M

=

1

2

，平板与地面间的动摩擦因数为μ=0.1．在板的上表面上方，存在一定厚度的“相互作用区域”，如图中划虚线的部分，当物块P进入相互作用区时，B便有竖直向上的恒力f作用于P，f=11mg，f对P的作用使P刚好不与B的上表面接触；在水平方向P、B之间没有相互作用力．已知物块P开始自由落下的时刻，板B向右的速度为v₀=10.0m/s．P从开始下落到刚到达相互作用区所经历的时间为T₀=1s． 设B板足够长，保证物块P总能落入B板上方的相互作用区，取重力加速度g=10m/s²．求：
（1）相互作用区域的厚度．
（2）P第一次回到初始位置经历的时间．
（3）当B开始停止运动那一时刻，P的位置．

Answer 1

（1）物块P自由下落时，刚到达板的上表面时的速度v=gT₀=10m/s．
P进入相互作用区域的过程，根据动能定理得：mgH-fH=0-

1

2

mv2
代入解得，H=0.5m．
（2））对于P，取向下方向为正方向，对于B取水平向右为正方向．
物块P在进入“相互作用区域”之前，P、B的加速度分别是a_P=g=10m/s²，a_B=-μg=-1m/s²．
物块P在进入“相互作用区域”之后，P、B的加速度分别是a_P′=

mg-f

m

=-100m/s²，a_B′=-

μ(Mg+f)

M

=-6.5m/s²．
设P从进入“相互作用区域”到离木板最近过程所经历的时间为t，则
  a_PT₀+a_P′t=0
解得t=0.1s
根据对称性得到物块P从开始自由下落到再次回到初始位置所经历的时间T=2（t₀+t）=2.2s
（3）设板速度为零时，P一共回到出发点n次．由以上分析得：
v₀+2na_BT₀+2na_B′t=0
解得，n=3.03次，
三次后，板的速度为v=v₀+2×3a_BT₀+2×3a_B′t=0.1m/s
则此时P又下落的时间为t′=

v

aB

=0.1s
h=

1

2

g(

T

20

-t′2)=4.95m
即当B开始停止运动那一时刻，P距地面4.95 m．
答：
（1）相互作用区域的厚度为0.5m
（2）P第一次回到初始位置经历的时间为2.2s．
（3）当B开始停止运动那一时刻，P距地面4.95 m．