Question

20．如图所示，AB为倾角θ=37°的粗糙斜面轨道，通过一小段光滑圆弧与光滑水平轨道BC相连接，质量为2m的小球乙静止在水平轨道上，质量为m的小球甲以速度v₀与乙球发生弹性正碰．若轨道足够长，两球能发生第二次碰撞，求乙球与斜面之间的动摩擦因数μ的取值范围．（sin37°=0.6，cos37°=0.8）

Answer 1

分析 由于两球发生弹性碰撞，则动量守恒、机械能守恒，结合动量守恒定律和机械能守恒定律求出碰后两球的速度大小，根据能能定理得出碰后乙球返回斜面底端的速度，抓住该速度大于甲的速度，得出动摩擦因数的范围．

解答 解：设碰后甲的速度为v₁，乙的速度为v₂，m₂=m₁=2m由动量守恒和能量关系：m₁v₀=m₁v₁+m₂v₂①
$\frac{1}{2}{m_1}v_0^2=\frac{1}{2}{m_1}v_1^2+\frac{1}{2}{m_2}v_2^2$②
联立①②解得：${v_1}=\frac{{{m_1}-{m_2}}}{{{m_1}+{m_2}}}{v_0}=-\frac{1}{3}{v_0}$
${v_2}=\frac{{2{m_1}}}{{{m_1}+{m_2}}}{v_0}=\frac{2}{3}{v_0}$
设上滑的最大位移大小为s，滑到斜面底端的速度大小为v，由动能定理：（m₂gsin37°+μm₂gcos37°）s=$\frac{1}{2}{m}_{2}{{v}_{2}}^{2}$，③
（m₂gsin37°-μm₂gcos37°）s=$\frac{1}{2}{m}_{2}{v}^{2}$，④
联立③④解得：$（\frac{v}{v_2}{）^2}=\frac{3-4μ}{3+4μ}$
乙要能追上甲，则：$v＞\frac{v_0}{3}$⑤
解得：μ＜0.45．
故动摩擦因数的范围为：0＜μ＜0.45．
答：乙球与斜面之间的动摩擦因数μ的取值范围为0＜μ＜0.45．

点评 本题考查了动量守恒、能量守恒、动能定理的综合运用，知道弹性碰撞的特点，以及两球发生第二次碰撞的条件是解决本题的关键．