Question

17．人类对自然的探索远至遥远的太空，深至地球内部．若地球半径为R，把地球看做质量分布均匀的球体．某地下探测器P的质量为m，深入地面以下h处，假设h以上的地球球壳物质对探测器P的引力为零；另一太空探测器Q质量也为m，围绕地球做圆周运动，轨道距离地面高度为d，则地球对太空探测器Q和地下探测器P的引力之比为（　　）

• A． $\frac{R-h}{R+d}$
• B． $\frac{R^3}{{{{（R+d）}^2}（R-h）}}$
• C． $\frac{{{{（R-h）}^2}}}{{{{（R+d）}^2}}}$
• D． $\frac{R^2}{（R+d）（R-h）}$

Answer 1

分析 根据题意知，地球表面的重力加速度等于半径为R的球体在表面产生的加速度，地下深度为h的井底的加速度相当于半径为R-h的球体在其表面产生的加速度，根据地球质量分布均匀得到加速度的表达式，再根据半径关系求解即可．

解答 解：令地球的密度为ρ，地球的质量为：M=$ρ\frac{4}{3}π{R}^{3}$，所以地球对太空探测器Q受到的引力：
F=$\frac{GMm}{（R+d）^{2}}$=$\frac{\frac{4}{3}πρ{R}^{3}Gm}{（R+d）^{2}}$
根据题意有，质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，固在地下为h处，受到地球的万有引力即为半径等于（R-h）的球体在其表面产生的万有引力，
此时：$M′=ρ•\frac{4}{3}π（R-h）^{3}$
故地下的重力：mg′=$\frac{4}{3}πρG（R-h）$
所以有：$\frac{F}{mg′}$=$\frac{R^3}{{{{（R+d）}^2}（R-h）}}$．故B正确，ACD错误
故选：B

点评 抓住在地球表面重力和万有引力相等，在地下h处，地球的重力和万有引力相等，要注意在地下时的地球的质量不是整个地球的质量而是半径为（R-d）的球体的质量．