Question

3．如图为某生产流水线工作原理示意图．足够长的工作平台上有一小孔A，一定长度的操作板（厚度可忽略不计）静止于小孔的左侧，某时刻开始，零件（可视为质点）被无初速度地放上操作板中点，同时操作板在电动机带动下向右做匀加速直线运动直至运动到A孔的右侧（忽略小孔对操作板运动的影响），最终零件运动到A孔时速度恰好为零，并由A孔下落进入下一道工序．已知零件与操作板间的动摩擦因素μ₁=0.05，与工作台间的动摩擦因素μ₂=0.025，操作板与工作台间的动摩擦因素μ₃=0.3．试问：
（1）电动机对操作板所施加的力是恒力还是变力（只要回答是“变力”或“恒力”即可）？
（2）操作板做匀加速直线运动的加速度a的大小为多少？
（3）若操作板长L=2m，质量M=3kg，零件的质量m=0.5kg，重力加速度取g=10m/s²，则操作板从A孔左侧完全运动到右侧过程中，电动机至少做了多少功？

Answer 1

分析 （1）零件离开操作板后，操作板对工作台的压力减小，故滑动摩擦力减小，故电动机对操作板所施加的力是变力；
（2）对零件在板上和工作台上分别运用牛顿第二定律列式求解加速度，然后根据运动学公式列式后联立求解；
（3）电动机做功等于消耗的电能，转化为零件动能、工作台动能，各个不为摩擦产生的内能，根据能量守恒定律和功能关系列式求解．

解答 解：（1）变力；
（2）设零件相对于工作台运动距离为x，历时为t时与操作板分离，此后零件在工作台上做匀减速运动直到A点时速度减为零．
设零件的质量为m，板长为L，取水平向右为正方向，则有：
μ₁mg=ma₁          ①
-μ₂mg=ma₂        ②
$x=\frac{1}{2}{a}_{1}{t}^{2}$            ③
从开始运动到零件与板分离，板的位移大小比零件多$\frac{L}{2}$，则有
$\frac{1}{2}a{t}^{2}=\frac{L}{2}+x$         ④
零件从开始运动到运动到A点，总位移大小为$\frac{L}{2}$，则有
x+$\frac{0-（{a}_{1}t）^{2}}{2{a}_{2}}$=$\frac{L}{2}$       ⑤
联立以上各式可得：
a=$\frac{（2{μ}_{1}{μ}_{2}+{μ}_{1}^{2}）g}{{μ}_{2}}$     ⑥
代入数据得：
a=2m/s²         
（3）将a=2m/s² 及L=2m代入上述方程可得：
x=$\frac{1}{3}$m，t=$\frac{2}{\sqrt{3}}$s
由能量守恒可知电动机做功至少包含以下几部分：
①操作板动能的增加
$△{E}_{k1}=\frac{1}{2}M（\sqrt{2aL}）^{2}$-0=12J                
②零件在运动t时间内动能的增加
$△{E}_{k2}=\frac{1}{2}m（{μ}_{1}gt）^{2}-0=\frac{1}{12}J$              
③零件在运动t时间内与操作板摩擦而产生的内能
${E}_{3}={μ}_{1}mg•\frac{L}{2}=0.25J$                          
④操作板在运动t时间内与工作台摩擦而产生的内能
${E}_{4}={μ}_{3}（m+M）g（\frac{L}{2}+x）=14J$                   
⑤操作板从与零件分离到运动至工作台右侧过程中与工作台摩擦而产生的内能
${E}_{5}={μ}_{3}Mg（\frac{L}{2}-x）=6J$                         
所以电动机做功至少为
E=△E_k1+△E_k2+E₃+E₄+E₅=32.33J         
答：（1）电动机对操作板所施加的力是变力；
（2）操作板做匀加速直线运动的加速度a的大小为2m/s²；
（3）操作板从A孔左侧完全运动到右侧过程中，电动机至少做32.33J的功．

点评 该题中，对零件的运动过程的分析是解题的关键．要紧扣题目给出的条件：最终零件运动到A孔时速度恰好为零！得出零件的正确的运动过程．