Question

一条宽度为L的河，水流速度为v_s，已知船在静水中的航速为v_c，那么①怎样渡河时间最短？②v_s＜v_c，怎样渡河位移最小？③若v_s＞v_c，怎样渡河船漂下的距离最短？

Answer 1

答案：
解析：

①如图(a)所示，设船斜向上游与河岸成任意角θ时渡河时间最短．这时船速在y方向的速度分量为vy＝vcsinθ，渡河所需的时间为t＝． 　　可以看出：在L、vc一定时，t随sinθ增大而减小．当θ＝时，sinθ＝1(最大)，所以，船头与河岸垂直时，渡河时间最短，且为tmin＝L/vc． 　　②如图(b)所示，渡河的最小位移即河的宽度．为了使渡河位移等于L，必须使船的合速度v的方向与河岸垂直，即沿河岸方向的速度vx＝0，这时船头应指向河的上游，并与河岸成一定的角度θ，根据三角函数关系有：vs－vccosθ＝0，θ＝cos． 　　因为0≤cosθ≤1，所以只有在vs＜vc时，船才有可能垂直河岸横渡． 　　③如果水流速度大于船在静水中的航行速度，则不论船的航向如何，总要被水冲向下游，怎样才能使漂下的距离最短呢？如图(c)所示，设船头(vc)与河岸成θ角，合速度(v)与河岸成α角，可以看出：α角越大，船漂下的距离x越短．那么，在什么条件下α角最大呢？以vs的矢尖为圆心，vc为半径画圆，当v与圆相切时，α角最大．根据cosθ＝vc/vs，船头与河岸的夹角应为θ＝cos． 　　船漂下的最短距离为 　　xmin＝vxt＝(vs－vccosθ)． 　　【评析】船渡河问题可用合成方法解决，也可以用运动的分解方法解决，解题中应灵活掌握．

提示：

【分析】船同时参与了两个运动：一水冲船的运动，二船在静水中的运动．要使渡河时间最短，应使垂直河岸方向的速度最大；要使渡河位移最小，应使合位移(或合速度)与垂直河岸方向夹角最小．