Question

9．如图，在竖直向下的磁感应强度为B的匀强磁场中，两根足够长的平行光滑金属轨道MN、PQ固定在水平面内，相距为L．一质量为m的导体棒ab垂直于MN、PQ放在轨道上，与轨道接触良好．轨道和导体棒的电阻均不计．
（1）如图1，若轨道左端接一电动势为E、内阻为r的电源和一阻值未知的电阻．闭合开关S，导体棒从静止开始运动，经过一段时间后，导体棒达到稳定最大速度v_m，求此时电源的输出功率．
（2）如图2，若轨道左端接一电容器，电容器的电容为C，导体棒在水平恒定拉力的作用下从静止（t=0）开始向右运动．已知t_c时刻电容器两极板间的电势差为U_c．求导体棒运动过程中受到的水平拉力大小．

Answer 1

分析 （1）由欧姆定律求出电路电流，由电功率公式P=UI求出电源的输出功率．
（2）由E=BLv求感应电动势，根据电容定义式、电流定义式、牛顿第二定律分析答题，求出拉力大小．

解答 解：（1）导体棒达到最大速度v_m时，棒中没有电流．
电源的路端电压：U=BLv_m，
电源与电阻所在回路的电流：I=$\frac{E-U}{r}$，
电源的输出功率：P=UI=$\frac{EBL{v}_{m}-{B}^{2}{L}^{2}{v}_{m}^{2}}{r}$；
（2）设金属棒下滑的速度大小为v，则感应电动势为：E=Blv，
平行板电容器两板间的电势差为：U=E，
设此时电容器极板上积累的电荷为Q，按定义有：C=$\frac{Q}{U}$，联立式得：Q=CBlv，
设在时间间隔（t，t+△t）内流经金属棒的电荷量为△Q，按定义电流为：I=$\frac{△Q}{△t}$，
△Q是△t电容器极板上增加的电荷量，解得：△Q=CBl△v，
式中△v为速度的变化量，按定义有：a=$\frac{△v}{△t}$，
对金属棒由牛顿第二定律得-BIl+F=ma，
解得：F=ma+B²L²Ca，
导体棒速度随时间的变化关系为：v=$\frac{{U}_{C}}{BL{t}_{C}}$t，
导体棒做匀加速直线运动，加速度：a=$\frac{{U}_{C}}{BL{t}_{c}}$，
解得：F=$\frac{BLC{U}_{C}}{{t}_{C}}$+$\frac{m{U}_{C}}{BL{t}_{C}}$；
答：（1）此时电源的输出功率为=$\frac{EBL{v}_{m}-{B}^{2}{L}^{2}{v}_{m}^{2}}{r}$．
（2）导体棒运动过程中受到的水平拉力大小为$\frac{BLC{U}_{C}}{{t}_{C}}$+$\frac{m{U}_{C}}{BL{t}_{C}}$．

点评 本题从力和能量两个角度分析电磁感应现象，安培力的表达式F=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R}$是常用的经验公式，要能熟练推导．对于导体棒切割类型，关键要正确分析受力，把握其运动情况和能量转化关系．