Question

宇航员在地球表面以一定的初速度竖直上抛一小球，经过时间t小球落回原处；若他在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，需经过时间4t小球落回原处．（取地球表面重力加速度g_地=10m/s²，阻力不计）
（1）求该星球表面附近的重力加速度g_星；
（2）已知该星球的半径与地球半径之比为R_星：R_地=1：4，求该星球的质量与地球质量之比M_星：M_地；
（3）已知地球的第一宇宙速度是7.9km/s，求该星球的第一宇宙速度．

Answer 1

分析：（1）根据匀变速直线运动的速度时间公式，结合时间关系求出重力加速度关系，从而得出星球表面的重力加速度．
（2）根据万有引力等于重力，得出星球的质量和地球的质量关系．
（3）根据重力提供向心力求出第一宇宙速度的表达式，结合地球的第一宇宙速度求出星球的第一宇宙速度．

解答：解：（1）根据竖直上抛运动的对称性，设初速度为v₀，
则g地=

v0

t 2

，g星=

v0

2t

可得

g星

g地

=

1

4

，解得星球表面的重力加速度g星=

1

4

g地=2.5m/s²．
（2）根据G

Mm

R2

=mg得，M=

gR2

G

，
因为R_星：R_地=1：4，

g星

g地

=

1

4

，所以M_星：M_地=1：64．
（3）根据mg=m

v2

R

得，第一宇宙速度v=

gR

，
因为R_星：R_地=1：4，

g星

g地

=

1

4

，则v_星：v_地=1：4，
则星球的第一宇宙速度v星=

1

4

×7.9km/s=1.975km/s．
答：（1）该星球表面附近的重力加速度g_星=2.5m/s²；
 （2）该星球的质量与地球质量之比M_星：M_地=1：64；
（3）该星球的第一宇宙速度v=1.975km/s．

点评：解决本题的关键掌握万有引力的两个理论：1、万有引力等于重力，2、万有引力提供向心力了，并能灵活运用．