如图所示.半径为L1=2m的金属圆环内上.下半圆各有垂直圆环平面的有界匀强磁场.磁感应强度大小均为B1=$\frac{10}{π}$T．长度也为L1.电阻为R的金属杆ab.一端处于圆环中心.另一端恰好搭接在金属环上.绕着a端沿逆时针方向匀速转动.角速度为ω=$\frac{π}{10}$rad/s．通过导线将金属杆的a端和金属环连接到图示的电路中(连接a端的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

10．

如图所示，半径为L₁=2m的金属圆环内上、下半圆各有垂直圆环平面的有界匀强磁场，磁感应强度大小均为B₁=$\frac{10}{π}$T．长度也为L₁、电阻为R的金属杆ab，一端处于圆环中心，另一端恰好搭接在金属环上，绕着a端沿逆时针方向匀速转动，角速度为ω=$\frac{π}{10}$rad/s．通过导线将金属杆的a端和金属环连接到图示的电路中（连接a端的导线与圆环不接触，图中的定值电阻R₁=R，滑片P位于R₂的正中央，R₂的总阻值为4R），图中的平行板长度为L₂=2m，宽度为d=2m．图示位置为计时起点，在平行板左边缘中央处刚好有一带电粒子以初速度v₀=0.5m/s向右运动，并恰好能从平行板的右边缘飞出，之后进入到有界匀强磁场中，其磁感应强度大小为B₂，左边界为图中的虚线位置，右侧及上下范围均足够大．（忽略金属杆与圆环的接触电阻、圆环电阻及导线电阻，忽略电容器的充放电时间，忽略带电粒子在磁场中运动时的电磁辐射的影响，不计平行金属板两端的边缘效应及带电粒子的重力和空气阻力）求：
（1）在0～4s内，平行板间的电势差U_MN；
（2）带电粒子飞出电场时的速度；
（3）在上述前提下若粒子离开磁场后不会第二次进入电场，则磁感应强度B₂应满足的条件．

分析（1）金属杆在左侧圆形磁场区域中做切割磁感线运动（旋转切割），运动E=Bl$\overline{v}$求解其产生的感应电动势，然后运用闭合电路欧姆定律去求解R₂两段的电压，即为平行板间的电势差U_MN的大小，符号用右手定则判断；
（2）带电粒子在电场中做类平抛运动，运用运动的合成和分解，牛顿第二定律结合运动学规律去解决；
（3）粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力结合粒子不会第二次进入电场的临界几何条件即可．

解答解：
（1）金属杆产生的电动势大小恒为：E=$\frac{{{B}_{1}L}_{1}^{2}ω}{2}$=2V
        在0～4 s时间内，金属棒旋转的角度θ=ωt=$\frac{2π}{5}$＜π，所以，由右手定则知：金属杆ab中的电流方向为b→a，则φa＞φb，则在0～4 s时间内，φ_M＜φ_N，
        所以，根据闭合电路欧姆定律分压关系得：U_MN=-$\frac{1}{2}$E=-1V
（2）分析可知金属棒旋转切割磁感线，产生的是电动势大小恒定方向周期性变化的交流电，设交流电的周期为T₁，设粒子在平行板间的运动时间为t₁
        水平方向：L₂=v₀t₁，解得：t₁=$\frac{{L}_{2}}{{v}_{0}}$=4s＜$\frac{{T}_{1}}{2}$=10s
        所以，粒子在两板间运动时电场的方向不发生变化，所以粒子做类平抛运动
        竖直方向：$\frac{d}{2}$=$\frac{1}{2}$a${t}_{1}^{2}$；解得：a=0.125m/s²，
      竖直方向：v_y=at₁=0.5m/s
     则粒子飞出电场时的速度的大小v=$\sqrt{{v}_{0}^{2}{+v}_{y}^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$m/s≈0.707m/s，根据几何关系tanθ=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}$=1，所以θ=45°
        所以粒子飞出电场时速度方向：斜向下与水平方向的夹角θ=45°
（3）根据第（2）问中电场中有：Eq=ma，可得粒子的比荷$\frac{q}{m}$=0.25C/kg，粒子在磁场中做匀速圆周运动，
        洛伦兹力提供向心力：qvB₂=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，得r=$\frac{mv}{{qB}_{2}}$
        如图，由几何关系及粒子在磁场中运动的对称性可知：$\sqrt{2}$r＞d时离开磁场后不会第二次进入电场，即
        B₂＜$\frac{\sqrt{2}mv}{qd}$=2T
答：（1）在0～4s内，平行板间的电势差U_MN=-1V；
      （2）带电粒子飞出电场时的速度大小为0.707m/s，方向斜向下与水平方向的夹角θ=45°；
      （3）在上述前提下若粒子离开磁场后不会第二次进入电场，则磁感应强度B₂应小于2T．

点评本题综合性较强，但整体难度不大，考查点包括：考查右手定则的应用，法拉第电磁感应定律（导体棒旋转切割模型），闭合电路欧姆定律，带电粒子在偏转场中的运动，带电粒子在磁场中的运动；每一个过程都要单独分析，根据运动形式选择合适的规律去解决．

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