Question

如图所示，竖直面内的正方形ABCD的边长为d，质量为m、电荷量为+q的小球从AD边的中点，以某一初速度进入正方形区域．若正方形区域内未加电场时，小球恰好从CD边的中点离开正方形区域；若在正方形区域内加上竖直方向的匀强电场，小球可以从BC边离开正方形区域．已知重力加速度为g，求：
（1）小球进入正方形区域的初速度V₀．
（2）要使小球从BC边离开正方形区域，求所加竖直方向的匀强电场的场强E的方向和E的大小范围．

Answer 1

分析：（1）未加电场时小球在重力作用下做平抛运动，由平抛运动的规律可求得小球进入正方形区域的初速度；
（2）要使小球从BC边离开正方形区域则临界值为刚好从B、C点离开，则由类平抛运动的规律可得出粒子从BC边离开的场强的方向和大小．

解答：解：（1）未知电场时，小球做平抛运动，由平抛运动公式：
水平方向：

d

2

=v0t
竖直方向：

d

2

=

1

2

gt2
解得：v0=

gd

2

（2）要使小球从BC边离开正方形区域，应加竖直向上的匀强电场．
小球从C点离开正方形时，设场强为E₁，由牛顿第二定律：mg-qE₁=ma₁
初速度方向位移：d=v₀t₁
垂直初速度方向位移：

d

2

=

1

2

a1

t

2 1

解得：E1=

3mg

4q

小球从B点离开正方形时，设场强为E₂，由牛顿第二定律：qE₂-mg=ma₂
初速度方向位移：d=v₀t₂
垂直初速度方向位移：

d

2

=

1

2

a2

t

2 2

解得：E2=

5mg

4q

场强E的大小范围为：

3mg

4q

≤E≤

5mg

4q

；
答：（1）粒子的速度为

gd

2

；
    （2）场强的范围为

3mg

4q

≤E≤

5mg

4q

，电场方向竖直向上．

点评：解决本题的关键在于正确分析小球的运动情况，找出粒子满足条件的临界条件：即从B和从C点离开时小球的水平位移和竖直位移，再从牛顿第二定律及运动的合成与分解规律求解．