Question

1．如图，Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ为电场和磁场的理想边界，一束电量为e、质量为m的电子（重力不计）由静止从P点经过Ⅰ、Ⅱ间的电场加速后垂直到达边界Ⅱ的Q点．匀强磁场的磁感应强度为B，磁场边界宽度为d，电子从磁场边界Ⅲ穿出时的速度方向偏转了45°．求：
（1）电子在磁场中运动的时间t；
（2）若改变PQ间的电势差，使电子不能从边界Ⅲ射出
（边界Ⅲ上存在磁场），则PQ间的电势差U满足什么条件？

Answer 1

分析 （1）电子在磁场中由洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律和圆周运动的周期公式求出周期，由几何关系求得轨迹对应的圆心角，即可求解时间；
（2）根据电子刚好不从边界Ⅲ穿出时轨迹与边界相切，由洛伦兹力提供向心力，结合动能定理，即可求解．

解答 解：（1）电子在磁场中由洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律得：
  evB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$
可得轨迹半径为 r=$\frac{mv}{eB}$
电子在磁场中运动周期为 T=$\frac{2πr}{v}$=$\frac{2πm}{eB}$
根据速度的偏向角等于轨迹对应的圆心角，可知电子在磁场中运动轨迹对应的圆心角为45°
则电子在磁场中运动时间为 t=$\frac{45°}{360°}$T=$\frac{πm}{4eB}$
（2）电子刚好不从边界Ⅲ穿出时轨迹与边界相切，运动半径为 R=d
 由r=$\frac{mv}{eB}$得
 v=$\frac{eBd}{m}$
电子在PQ间加速过程，由动能定理得：
 eU=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
解得 U=$\frac{e{B}^{2}{d}^{2}}{2m}$；
答：
（1）电子在磁场中运动的时间为$\frac{πm}{4eB}$；
（2）若改变PQ间的电势差，使电子刚好不能从边界Ⅲ，则PQ间的电势差U应满足的条件为U=$\frac{e{B}^{2}{d}^{2}}{2m}$．

点评 本题考查牛顿第二定律与动能定理的应用，掌握圆周运动的周期公式，注意运动轨迹的圆心角等于速度的偏向角，熟练运用几何关系解决问题．