Question

如图在Oxy平面的ABCD区域内，存在两个场强大小均为E的匀强电场I和II，两电场的边界均是边长为L的正方形（设电子的电量为q，质量为m，不计电子的重力）．
（1）在该区域AB边的B处由静止释放电子，求电子经过多长时间达到匀强电场II区域的右边界和电子最终离开CD边界的位置坐标．
（2）在电场I区域内适当位置由静止释放电子，电子恰能从ABCD区域左下角D处离开，求所有释放点的位置．（提示：设释放点的位置为（x．y）坐标点，最后写出含有xy的函数表达式）

Answer 1

分析：（1）在AB边的B点处由静止释放电子，电场力对电子做正功，根据动能定理求出电子穿过电场时的速度，由于电子做匀加速直线运动，因此由运动学公式可求出在电场中加速运动的时间；进入电场II之前，电子做匀速直线运动，由运动学公式结合求出电子在没有电场中运动的时间，从而可求出电子从静止到达到电场II区域右边界的时间．当电子进入电场II时，做类平抛运动，运用运动学公式结合牛顿第二定律，可求出离开CD区域的位置坐标．
（2）在电场I区域内适当位置由静止释放电子，电子先在电场Ⅰ中做匀加速直线运动，进入电场Ⅱ后做类平抛运动，根据牛顿第二定律和运动学公式结合求出位置x与y的关系式．

解答：解：（1）电子的质量为m，电量为q，在电场I中做匀加速直线运动，出区域I时的速度为v₀，时间为t₁，
然后匀速直线运动到达电场II所用时间t₂，此后进入电场II做类平抛运动，
由动能定理得：qEL=

1

2

m

v

2 0

 
由运动学公式，t1=

v0

a

  
由牛顿第二定律，a=

qE

m

  
解得：t1=

2mL qE

 
匀速运动时间，t2=

L

v0

=

mL 2qE

    
则所需的时间，tB=t1+t2=

3

2

2mL qE

假设电子从CD边射出，出射点纵坐标为y，则整个运动过程中
对电子先后运用及匀变速位移公式有：(L-y)=

1

2

at2=

1

2

qE

m

(

L

v0

)2
 则：侧位移y=

1

2

at2=

1

2

qE

m

(

L

v0

)2   
 纵坐标为L-y=

3

4

L
  解得　y=

3

4

L，
所以原假设成立，
即电子离开ABCD区域的位置坐标为（-2L，

3

4

L）
（2）设释放点在电场区域I中，其坐标为（x，y），在电场I中电子被加速到v₁，
然后进入电场II做类平抛运动，并从D点离开，
同理，有：qEx=

1

2

m

v

2 1

，
y=

1

2

at2=

1

2

qE

m

(

L

v1

)2  
解得：xy=

L2

4

，
即在电场I区域内满足此方程的点即为所求位置．
答：（1）在该区域AB边的B处由静止释放电子，求电子经过

3

2

2mL qE

时间达到匀强电场II区域的右边界和电子最终离开CD边界的位置坐标（-2L，

3

4

L）．
（2）在电场I区域内适当位置由静止释放电子，电子恰能从ABCD区域左下角D处离开，则所有释放点的位置满足：xy=

L2

4

．

点评：本题实际是加速电场与偏转电场的组合，考查分析带电粒子运动情况的能力和处理较为复杂的力电综合题的能力．