Question

如图所示，一内壁光滑的圆环形窄槽固定在水平桌面上，槽内彼此间距相等的 A、B、C三位置处，分别有静止的大小相同的弹性小球m₁、m₂、m₃，小球与槽壁刚好接触．现让m₁以初速度v沿槽顺时针运动．已知三球的质量分别为m₁=m、m₂=m₃=2m，小球球心到圆环中心的距离为R．设各球之间的碰撞时间极短，碰撞中没有能量损失．求：
（1）m₁和m₂相碰后各自的速度大小；
（2）m_3和m₁第一次碰撞的位置；
（3）m₁和m₂第一次相碰后；再经过多长时间，m₁和 m₂第二次相碰？

Answer 1

【答案】分析：（1）A和B相碰时没有机械能损失，遵守动量守恒和机械能两大守恒，分别列出两大守恒定律的方程，求出A和B第一次相碰后各自的速度大小；
（2）因为m₂=m₃=2m，与第（1）问同理可得，m₂运动到C处与m₃碰后，两者交换速度，再根据位移关系求解相碰的位置；
（3）m₃与m₁碰撞过程满足动量守恒和机械能两大守恒，分别列出两大守恒定律的方程，求出m₃与m₁相碰后各自的速度大小，再根据时间等于弧长除以速度求解．
解答：解：（1）由题知碰撞过程动量守恒，动能守恒m₁与m₂碰撞过程满足
mv=mv₁+2mv₂
mv²=mv₁²+2mv₂²
得v₁=-（负号表示逆时针返回），v₂=
（2）因为m₂=m₃=2m，与第（1）问同理可得，m₂运动到C处与m₃碰后，两者交换速度，
即v₂′=0，v₃==v₂
所以m₃以的速度顺时针由C向A运动，与m₁逆时针返回．
因为v₂=v₃=2v₁，l_BC+l_CA=2l_AB
所以m₃和m₁同时到达A点并进行碰撞．
（3）m₃与m₁碰撞过程满足
2m-m=mv₁′+2mv₃′
2m（）²+m（）²=mv₁′²+2mv₃′，
解之得v₁′=v
v₃′=0
（另一组解v₁′=-v，v₃′=，这表示互相穿过去，不可能，所以舍去）即碰后m₃停止，m₁以v再次顺时针运动．
m₁和m₂第一次相碰后，返回A点的时间

m₁与m₃在A处碰后，m₁以v返回到C的时间t₂=2×
从m₁和m₂第一次相碰，到m₁和m₂第二次相碰经历的总时间t=t₁+t₂=
答：（1）碰后m₁的速度为反向的v，m₂的速度为v；
（2）m₁和m₃第一次相碰点在A点；
（3）m₁和m₂第一次相碰后再经过时间，m₁和 m₂第二次相碰．
点评：本题中AB发生的是弹性碰撞，没有机械能损失，遵守运量守恒和动能守恒．此题中还涉及相遇问题，根据位移关系研究时间，是常用的方法．