Question

甲、乙两船在静水中航行，速度分别为v_甲和v_乙，两船从同一渡口向河岸划去，已知甲船以最短时间过河，乙船以最短航程过河，结果两船抵达对岸的地点恰好相同，则甲、乙两船渡河所用时间之比t_甲∶t_乙为多少？

Answer 1

解析: 船参与了自身划行和随水漂流两个分运动.对于渡河时间最短问题上面已讨论过，即船头指向正对岸，渡河时间最短，依题设，这一时间为t_甲.

    乙船以最短航程过河，其船头应偏向上游，且与河岸成α角.由于两船在河岸同一点靠岸，说明两船在河水中的合速度(设为v_合甲，v_合乙)的方向相同，并且在乙船的船速v_乙＜v_水的条件下，要想船的航程最短，合速度应与船速垂直，见右图.于是有

    v_乙/v_水=cosα                         ①

    两船在同一地点靠岸，位移的水平分量相等，有

    v_水t_甲=(v_水-v_乙cosα)t_乙                ②

    由几何关系有

    cosα=v_乙/v_水=v_甲/           ③

    解①②式得

    t_甲/t_乙=(v_水²-v_乙²)/v_水²                ④

    ③式平方后，整理得

    v_乙²/v_甲²=(v_水²-v_乙²)/v_水²⑤

    比较④⑤两式得  t_甲/t_乙=v_乙²/v_甲²