Question

13．如图甲所示，间距为d垂直于纸面的两平行板P、Q间存在匀强磁场．取垂直于纸面向里为磁场的正方向，磁感应强度随时间的变化规律如图乙所示．t=0时刻，一质量为m、带电量为+q的粒子（不计重力），以初速度v₀由Q板左端靠近板面的位置，沿垂直于磁场且平行于板面的方向射入磁场区．当B₀和T_a取某些特定值时，可使t=0时刻入射的粒子经△t时间恰能垂直打在P板上（不考虑粒子反弹）．上述m、q、d、v₀为已知量．
（1）若△t=$\frac{1}{2}$T_a，求B₀；
（2）若△t=$\frac{3}{2}$T_a，求粒子在磁场中运动时加速度的大小．

Answer 1

分析 （1）结合粒子运动的特点，根据几何关系确定粒子运动的半径，然后根据粒子在磁场中，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律可以求出磁感应强度；
（2）由向心加速度公式可以求出粒子的向心加速度；

解答 解：（1）入射的粒子经△t时间恰能垂直打在P板上，则粒子运动的时间△t必须是$\frac{1}{4}T$或$（n+\frac{1}{4}）T$
若△t=$\frac{1}{2}$T_a，则粒子是$\frac{1}{4}T$后到达P板，所以运动的轨迹是$\frac{1}{4}$圆周（如左图），
设粒子做圆周运动的半径为R，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得：$q{v}_{0}{B}_{0}=\frac{m{v}_{0}^{2}}{{R}_{1}}$…①
 据题意由几何关系得：R₁=d…②
联立①②式得：${B}_{0}=\frac{m{v}_{0}}{qd}$…③

（2）若△t=$\frac{3}{2}$T_a，则粒子经过3个$\frac{1}{4}T$后到达P板，所以运动的轨迹是3个$\frac{1}{4}$圆周（如右图），
设粒子做圆周运动的半径为R₂，加速度大小为a，由圆周运动公式得：$a=\frac{{v}_{0}^{2}}{{R}_{2}}$…④
据题意由几何关系得：3R₂=d…⑤
联立④⑤式得：$a=\frac{3{v}_{0}^{2}}{d}$…⑥
答：（1）若△t=$\frac{1}{2}$T_a，磁感应强度是$\frac{m{v}_{0}}{qd}$；
（2）若△t=$\frac{3}{2}$T_a，粒子在磁场中运动时加速度的大小是$\frac{3{v}_{0}^{2}}{d}$．

点评 本题考查了粒子在磁场中的运动问题，分析清楚粒子运动过程是正确解题的关键，应用牛顿第二定律即可正确解题．