Question

1．回旋加速器是用来加速带电粒子的装置，图20为回旋加速器的示意图．D1、D2是两个中空的铝制半圆形金属扁盒，在两个D形盒正中间开有一条狭缝，两个D形盒接在高频交流电源上．在D1盒中心A处有粒子源，产生的带正电粒子在两盒之间被电场加速后进入D2盒中．两个D形盒处于与盒面垂直的匀强磁场中，带电粒子在磁场力的作用下做匀速圆周运动，经过半个圆周后，再次到达两盒间的狭缝，控制交流电源电压的周期，保证带电粒子经过狭缝时再次被加速．如此，粒子在做圆周运动的过程中一次一次地经过狭缝，一次一次地被加速，速度越来越大，运动半径也越来越大，最后到达D形盒的边缘，沿切线方向以最大速度被导出．已知带电粒子的电荷量为q，质量为m，加速时狭缝间电压大小恒为U，磁场的磁感应强度为B，D形盒的半径为R，狭缝之间的距离为d．设从粒子源产生的带电粒子的初速度为零，不计粒子受到的重力，求：
（1）带电粒子能被加速的最大动能E_k和交变电压的频率f；
（2）带电粒子在D₂盒中第1个半圆的半径和第n个半圆的半径；
（3）若带电粒子束从回旋加速器输出时形成的等效电流为I，求从回旋加速器输出的带电粒子的平均功率P．

Answer 1

分析 （1）交变电压的周期与粒子在磁场中运动的周期相等，根据粒子在磁场中运动的周期求出交变电压的频率．
（2）带电粒子在D₁盒中经历第n个半圆的半径时，加速了2n次，根据动能定理求出粒子的速度，根据半径公式求出粒子第n个半圆的半径
（3）根据电流的定义式I=$\frac{Q}{t}$和Q=Nq可求得．

解答 解：（1）交变电压的周期与粒子在磁场中运动的周期相等，
    根据T=$\frac{2πm}{Bq}$ 得：交变电压的频率f=$\frac{1}{T}$=$\frac{Bq}{2πm}$
   由      R=$\frac{mv}{Bq}$ 
得粒子的最大动能E_k=$\frac{1}{2}$mv²=$\frac{{q}^{2}{B}^{2}{R}^{2}}{2m}$
（2）根据动能定理得，2nqU=$\frac{1}{2}$mv²
    解得v=$2\sqrt{\frac{nqU}{m}}$，
根据 qvB=$m\frac{{v}^{2}}{R}$得，R=$\frac{2}{B}\sqrt{\frac{nUm}{q}}$  第一个圆的半径为${R}_{1}=\frac{2}{B}\sqrt{\frac{Um}{q}}$
（3）带电粒子质量为m，电荷量为q，带电粒子离开加速器时速度大小为v，由牛顿第二定律知：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$…①
带电粒子运动的回旋周期为：T=$\frac{2πR}{v}$=$\frac{2πm}{qB}$   ②
由回旋加速器工作原理可知，交变电源的频率与带电粒子回旋频率相同，由周期T与频率f的关系可得：f=$\frac{1}{T}$…③
设在t时间内离开加速器的带电粒子数为N，则带电粒子束从回旋加速器输出时的平均功率P=N $\frac{1}{2}$mv²…④
输出时带电粒子束的等效电流为：I=$\frac{Nq}{t}$…⑤
由上述各式得$\overline{P}$=$\frac{πB{R}^{2}I}{T}$=$\frac{{B}^{2}{R}^{2}Iq}{2m}$；
答：（1）带电粒子能被加速的最大动能E_k为=$\frac{{q}^{2}{B}^{2}{R}^{2}}{2m}$则变电压的频率f为$\frac{Bq}{2πm}$
（2）带电粒子在D₂盒中第1个半圆的半径为${R}_{1}=\frac{2}{B}\sqrt{\frac{Um}{q}}$和第n个半圆的半径为 $\frac{2}{B}\sqrt{\frac{nUm}{q}}$．
（3）从回旋加速器输出的带电粒子的平均功率P为$\frac{{B}^{2}{R}^{2}Iq}{2m}$；

点评 解决本题的关键知道回旋加速器利用磁场偏转和电场加速实现加速粒子，粒子在磁场中运动的周期和交流电的周期相等，注意第3问题，建立正确的物理模型是解题的关键