Question

9．如图所示，倾角为37°的粗糙斜面AB底端与半径R=0.4m的光滑半圆轨道BC平滑相连，O为轨道圆心，BC为圆轨道直径且处于竖直方向，A、C两点等高．质量m=1kg的滑块从A点由静止开始下滑，恰能滑到与O等高的D点，g取10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8．
（1）求滑块与斜面间的动摩擦因数μ．
（2）若使滑块能到达C点，求滑块从A点沿斜面滑下时的初速度v₀的最小值．

Answer 1

分析 （1）由题，滑块恰能滑到与O等高的D点，速度为零，对A到D过程，运用动能定理列式可求出动摩擦因数μ．
（2）滑块恰好能到达C点时，由重力提供向心力，根据牛顿第二定律列式可得到C点的速度范围，再对A到C过程，运用动能定理求初速度v₀的最小值．

解答 解：（1）滑块从A到D过程，根据动能定理有：
mg（2R-R）-μmgcos37°•$\frac{2R}{sin37}$=0-0
可得：$μ=\frac{1}{2}tan37°=0.375$
（2）若滑块能到达C点，根据牛顿第二定律，有：$mg+{F_N}=\frac{mv_c^2}{R}$
则得：${v_c}≥\sqrt{Rg}=2m/s$
A到C的过程：根据动能定理　有：
-μmgcos37°•$\frac{2R}{sin37°}$=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
联立解得：v₀=$\sqrt{{v}_{C}^{2}+2gR}$≥2$\sqrt{3}$m/s
所以初速度v₀的最小值为2$\sqrt{3}$m/s．
答：（1）滑块与斜面间的动摩擦因数μ为0.375．
（2）若使滑块能到达C点，滑块从A点沿斜面滑下时的初速度v₀的最小值为2$\sqrt{3}$m/s．

点评 本题是动能定理与向心力、平抛运动及几何知识的综合，要注意挖掘隐含的临界条件：滑块到达最高点C的临界条件：重力等于向心力．