Question

为了研究过山车的原理，物理小组提出了下面的设想：取一个与水平方向夹角为37°、长为L=2.0m的粗糙的倾斜轨道AB，通过水平轨道BC与竖直圆轨道相连，出口为水平轨道DE，整个轨道除AB段以外都是光滑的．其中AB与BC轨道以微小圆弧相接，如图所示．一个物块以初速度v₀=4.0m/s，从某一高处水平抛出，到A点时速度方向恰沿AB方向，并沿倾斜轨道滑下．已知物块与倾斜轨道间的动摩擦因数μ=0.50．（g取10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8）
（1）要使小物块不离开轨道，并从水平轨道DE滑出，求竖直圆轨道的半径应该满足什么条件？
（2）为了让小物块不离开轨道，并且能够滑回倾斜轨道AB，则竖直圆轨道的半径应该满足什么条件？
（3）若按照（2）的要求，小物块进入轨道后可以有多少次通过圆轨道上距水平轨道高为0．O1m的某一点？

Answer 1

（1）物体做平抛运动，到达A处时，令下落的高度为h，水平分速度为v_x，竖直分速度为v_y，则由平抛运动的规律可知：
tan37°=

vy

vx

，v_x=v₀，vy2=2gh
物体落在斜面上后，受到斜面的摩擦力f=μN=μmgcos37°．
设物块进入圆轨道到最高点时有最小速度v₁，此时物块受到的重力恰好提供向心力了，令轨道的轨道半径为R₀．由牛顿第二定律知，
mg=m

v12

R0

物块从抛出到圆轨道最高点的过程中，由动能定理知：mg（h+Lsin37°）-μmgcos37°?L-2mgR0=

1

2

mv12-

1

2

mv02
联立上面各式解得R₀=0.66m．
若物块从水平轨道DE滑出，则竖直圆轨道的半径R₁≤0.66m．
（2）为了让物块不离开轨道，并且能够滑回倾斜轨道AB，则物块上升的高度须小于或等于R₀′，则根据动能定理得，
mg(h+Lsin37°)-μmgcos37°?L-mgR0′=0-

1

2

mv02
解得R₀′=1.65m．
若物块能够滑回倾斜轨道AB，则R₂≥1.65m．
（3）若物块冲上圆轨道H₁=1.65m高度时速度变为0，然后又返回倾斜轨道h₁高处再滑下，然后再次进入圆轨道达到的高度为H₂，则有：
mgH1=mgh1+μmgh1?

4

3

mgH2=mgh1-μmgh1?

4

3

解得H2=

1- 4 3 μ

4

H1=

1

5

H1．
之后物块在竖直圆轨道和倾斜轨道之间往复运动，同理，n次上升的高度Hn=(

1

5

)n-1H1（n＞0）为一等比数列．
可见当n=5时，上升的最大高度小于0.01m，则物块共有8次通过圆轨道上距水平轨道高为0.01m的某一点．
答：（1）竖直圆轨道的半径应该满足R₁≤0.66m．
（2）竖直圆轨道的半径应该满足R₂≥1.65m．
（3）小物块进入轨道后可以有8次通过圆轨道上距水平轨道高为0．O1m的某一点．