Question

2009年3月1日16时13分10秒，中国自主研制的第一个月球探测器（嫦娥一号）成功实现“受控撞月”，为我国探月一期工程画上圆满的句号．
（1）设探测器的质量为m，月球的半径为R，月球表面的重力加速度为g，“受控撞月”开始前探测器在离月球表面高为h的圆形环月轨道上正常运行．求它在此轨道上正常运行的线速度大小；
（2）假设此次进行“受控撞月”开始的过程按图甲所示进行，探测器在A点向前短时间喷气，减速后的探测器做向心运动沿曲线到达月球表面附近的B点．估算从A到B所用时间？分析从A到B过程中在探测器内悬挂物体的弹簧秤读数的变化？
（3）为了增加撞击效果，撞击前要利用剩余的燃料对探测器进行加速，图乙所示为探测器到达B点时速度方向的示意图，为了使探测器能够沿此方向做加速直线运动，请在图乙中用由坐标原点O出发的有向线段表示出可能的一种发动机喷气方向．

Answer 1

分析：（1）对于探测器在环月轨道上正常运行，由万有引力提供向心力，月球表面的物体受到的重力等于万有引力．由此两式可解得它在此轨道上正常运行的线速度大小．
（2）减速后的探测器做椭圆运动，时间为半个周期．根据开普勒第三定律求出周期，即可求出时间．从A到B过程中在探测器内悬挂物体的弹簧秤读数为0．
（3）为了使探测器能够沿v_B方向做加速直线运动，所以合力的方向一定要沿v_B的方向，所以发动机喷气方向在y轴负方向和v_B反方向之间某一条直线上．

解答：解：（1）设月球的质量为M，卫星的线速度为v，则
  G

Mm

(R+h)2

=m

v2

R+h

        ①
又在月球表面上，G

Mm

R2

=mg    ②
由①②两式得 v=R

g R+h

      ③
（2）探测器圆周运动的周期为T₁=

2π(R+h)

v

=

2π(R+h)

R

R+h g

由开普勒第三定律得

T 2 1

T 2 2

=

(R+h)3

( 2R+h 2 )3

则椭圆运动的周期T₂=

2π

R

(2R+h)3 8g

t=

1

2

T₂=

π

R

(2R+h)3 8g

．
从A到B过程中在探测器内悬挂物体的弹簧秤读数保持为0不变．                
（3）为了使探测器能够沿v_B方向做加速直线运动，所以合力的方向一定要沿v_B的方向，
探测器已受月球的引力，沿y周负方向，故发动机的推力一定要在y轴正方向和v_B之间，这样合力才可能沿v_B的方向．所以发动机喷气方向在y轴负方向和v_B反方向之间某一条直线上．
故由O点出发在y轴负方向和v_B反方向之间的有向线段都正确．（不包括y轴负方向和v_B的反方向）．
答：
（1）探测器在此轨道上正常运行的线速度大小是R

g R+h

．
（2）从A到B所用时间为

π

R

(2R+h)3 8g

．从A到B过程中在探测器内悬挂物体的弹簧秤读数保持为0不变．
（3）为了使探测器能够沿此方向做加速直线运动，由O点出发在y轴负方向和v_B反方向之间的有向线段都正确．

点评：本题解题的关键是两个理论的应用：1．万有引力提供向心力；2．万有引力近似等于重力．