Question

16．匀速（率）圆周运动是圆周运动的特例，更普遍情况应属于非匀速圆周运动．做这种圆周运动的物体，向心加速度公式仍然适用，但在运动中不仅需要向心加速度不断改变其运动方向，而且有沿切线方向的加速度不断改变其线速度大小（由于线速度大小不断改变，其向心加速度的大小不是定值）．显然非匀速圆周运动加速度a=$\sqrt{{{a}_{n}}^{2}+{{a}_{t}}^{2}}$，其所受合外力也不指向圆心，如果-小球在水平面内沿半径为R的圆周按路程s=v₀t-$\frac{1}{2}$kt²（v0、k为常数）运动，求：
（1）在t时刻，小球运动的合加速a=？
（2）t为何值时，a=k．
（3）当a=k时，小球转过的圈数n=？

Answer 1

分析 （1）根据路程s=v₀t-$\frac{1}{2}$kt²分析小球初始时刻的速度、切线方向的加速度，由a_n=$\frac{{v}^{2}}{R}$求出向心加速度，再合成得到合加速．
（2）根据上题的结果，求t．
（3）当a=k时，代入到s=v₀t-$\frac{1}{2}$kt²，求出路程，再得到圈数n．

解答 解：（1）依题意，路程 s=v₀t-$\frac{1}{2}$kt²可知，小球的初始时刻的速度为v₀，切向加速度a_t的大小不变，为常数k．故切向速度  v=v₀-kt变化，小球的向心加速度为
  a_n=$\frac{{v}^{2}}{R}$=$\frac{（{v}_{0}-kt）^{2}}{R}$
所以在t时刻，小球运动的合加速度 a=$\sqrt{{{a}_{n}}^{2}+{{a}_{t}}^{2}}$=$\sqrt{\frac{（{v}_{0}-kt）^{4}}{{R}^{2}}+{k}^{2}}$
（2）当a=k时，由上式得 a_n=0
故v=v₀-kt=0，得 t=$\frac{{v}_{0}}{k}$
（3）在一段时间内，小球通过的路程
  s=v₀t-$\frac{1}{2}$kt²=v₀•$\frac{{v}_{0}}{k}$-$\frac{1}{2}$k（$\frac{{v}_{0}}{k}$）²=$\frac{{v}_{0}^{2}}{2k}$
设转过的圈数为n，则 n=$\frac{s}{2πR}$=$\frac{{v}_{0}^{2}}{4πRk}$
答：
（1）在t时刻，小球运动的合加速度a是$\sqrt{\frac{（{v}_{0}-kt）^{4}}{{R}^{2}}+{k}^{2}}$．
（2）t为$\frac{{v}_{0}}{k}$时，a=k．
（3）当a=k时，小球转过的圈数n是$\frac{{v}_{0}^{2}}{4πRk}$．

点评 本题是信息题，运用比对的方法研究切向速度的表达式，得到切向加速度是关键．